Рассмотрим несколько видов интегралов тригонометрических функций и методы их решения
1. Интегралы вида \( \int \sin^m x\cos^n x \, dx\), где \( m \) и \( n \) - целые числа, вычисляются с помощью искусственных преобразований или применения формул понижения.
Рассмотрим на примерах.
Пример 1. \( \int \cos^2 t*\sin^3{3t} \, dt \) применим формулу понижения степени \( \cos 2\alpha = \cos^2\alpha -\sin^2\alpha =1-2\sin^2\alpha = 2\cos^2-1 \), т.е. формулу косинуса двойного угла . $$ \int \cos^2 t*\sin^3{3t} \, dt = \int \frac{1+\cos{2t}}{2}*\frac{1-\cos{6t}}{2}\sin{3t} dt = $$откроем скобки $$ \frac{1}{4}\int (\sin {3t} - \cos{6t}*\sin{3t} +\cos{2t}*\sin{3t} - \cos{2t}*\cos{6t}*\sin{3t}) \, dt = $$применим формулы преобразования произведения $$= \frac{1}{4}\int (\sin {3t} - \frac{1}{2}(-\sin{3t} + \sin{9t}) +\frac{1}{2}(\sin{t}+\sin{5t}) - \frac{1}{2}(\cos{8t}+\cos{4t}) *\sin{3t} \, dt =$$$$= \frac{1}{8}\int (2\sin {3t} + \sin{3t} - \sin{9t} + \sin{t}+\sin{5t} - (\cos{8t}+\cos{4t}) *\sin{3t)} \, dt =$$$$=\frac{1}{8}\int (3\sin {3t} - \sin{9t} + \sin{t}+\sin{5t} - \cos{8t}\sin{3t}-\cos{4t}\sin{3t}) \, dt = $$$$ =\frac{1}{8}\int (3\sin {3t} - \sin{9t} + \sin{t}+\sin{5t} - \frac{1}{2}(-\sin{5t} + \sin{11t})-\frac{1}{2}(-\sin{t} + \sin{7t})) \, dt = $$$$=\frac{1}{16}\int (6\sin {3t} -2 \sin{9t} + 3 \sin{t} + 3\sin{5t} - \sin{11t} - \sin{7t}) \, dt =$$$$=\frac{6}{16}\int \sin {3t}\, dt - \frac{2}{16}\int \sin{9t}\, dt + \frac{3}{16}\int \sin{t}\, dt + \frac{3}{16}\int \sin{5t}\, dt - \frac{1}{16}\int \sin{11t}\, dt - \frac{1}{16}\int \sin{7t} \, dt =$$$$= - \frac{6}{16}\frac{1}{3} \cos {3t} + \frac{2}{16}\frac{1}{9} \cos{9t} - \frac{3}{16}\cos{t} - \frac{3}{16}\frac{1}{5}\cos{5t} + \frac{1}{16} \frac{1}{11} \cos{11t}\ + \frac{1}{16}\frac{1}{7}\cos{7t} =$$$$= - \frac{1}{8} \cos {3t} + \frac{1}{72} \cos{9t} - \frac{3}{16}\cos{t} - \frac{3}{80}\cos{5t} + \frac{1}{176} \cos{11t}\ + \frac{1}{112}\cos{7t} + C$$Ответ \( \int \cos^2 t*\sin^3{3t} \, dt = - \frac{1}{8} \cos {3t} + \frac{1}{72} \cos{9t} - \frac{3}{16}\cos{t} - \frac{3}{80}\cos{5t} + \frac{1}{176} \cos{11t}\ + \frac{1}{112}\cos{7t} + C\)
Пример 2. \( \int \frac{1}{\sin(t+a)*\sin(t+b)} \, dt\) для решения примера применим следующие формулы $$\sin(a-b) = \sin[(x-a)-(x-b)] = \sin(x-a)\cos(x-b) - \cos(x-a)\sin(x-b)$$$$\cos(a-b) = \cos[(x-a)-(x-b)] = \cos(x-a)\cos(x-b) + \sin(x-a)\sin(x-b)$$подставим
$$ \int \frac{1}{\sin(t+a)*\sin(t+b)} \, dt = \frac{1}{\sin(a-b)} \int \frac{\sin([t+a]-[t+b])}{\sin(t+a)*\sin(t+b)} \, dt =$$$$ = \frac{1}{\sin(a-b)} \int \frac{\sin(t+a)\cos(t+b)-\cos(t+a)\sin(t+b)}{\sin(t+a)*\sin(t+b)} \, dt =$$$$ = \frac{1}{\sin(a-b)}( \int \frac{\sin(t+a)\cos(t+b)}{\sin(t+a)*\sin(t+b)} \, dt - \int \frac{\cos(t+a)\sin(t+b)}{\sin(t+a)*\sin(t+b)} \, dt) =$$$$ = \frac{1}{\sin(a-b)} (\int \frac{\cos(t+b)}{\sin(t+b)} \, dt - \int \frac{\cos(t+a)}{\sin(t+a)} \, dt) =$$применим метод введения нового аргумента (замена) \( u = \sin(t+b) =>du = \cos(t+b)dt\), \( v = \sin(t+a) =>dv = \cos(t+a)dt\) $$ \frac{1}{\sin(a-b)} (\int \frac{\cos(t+b)}{\sin(t+b)} \, dt - \int \frac{\cos(t+a)}{\sin(t+a)} \, dt) = \frac{1}{\sin(a-b)} (\int \frac{1}{u} \, du - \int \frac{1}{v} \, dv) =$$$$= \frac{1}{\sin(a-b)} (\ln|u| - ln|v|) + C =\frac{1}{\sin(a-b)} \ln|\frac{\sin(t+b)}{\sin(t+a)}| + C$$Ответ: \( \int \frac{1}{\sin(t+a)*\sin(t+b)} \, dt = \frac{1}{\sin(a-b)} \ln|\frac{\sin(t+b)}{\sin(t+a)}| + C \), ОДЗ \( \sin(a-b) \ne 0\)