Рассмотрим построение графика функции на следующем примере:
Пример: Построимть график функции \( x \to y(x)\), заданного неявно, параметр счетать положительны \( a > 0\). $$x^4 + y^4 = a^2 (x^2 + y^2)$$
Решение: проведем исследование графика функции и построим его по характерным точкам. Очевидно, что график функции симметричен относительно осей координат, т.е. есть будем проводить исследование графика в первой четверти, т.е. при \( x \geq 0\) и \( y \geq 0\). Функция определена и непрерывна при всех \( x\). Представим кривую в параметрическом виде, заменим \( y = tx\). Т.к. мы рассматриваем кривую в первой четвети, то \( y \geq 0\). Подставим $$x^4 + y^4 = a^2 (x^2 + y^2) => x^4 + (tx)^4 = a^2 (x^2 + (tx)^2) =>$$$$x^2 + t^4x^2 = a^2 (1 + t^2) =>x^2 = a^2 \frac{1 + t^2}{ 1+ t^4} = x = a \sqrt{ \frac{1 + t^2}{ 1+ t^4}}$$ подставим в уравнение для \( y \) $$ y = tx => y = t a \sqrt{ \frac{1 + t^2}{ 1+ t^4}}$$ Вычислим производные \( x' \) и \( y' \) $$x' = (a \sqrt{ \frac{1 + t^2}{ 1+ t^4}})'=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{ 1+ t^4}{1 + t^2}}\frac{2t(1 + t^4)-4t^3(1 + t^2)}{(1 + t^4)^2}' = a \sqrt{\frac{ 1+ t^4}{1 + t^2}}\frac{t(1 - 2t^2 -t^4 )}{(1 + t^4)^2}$$ приравняем первую производную к 0 и найдем стационарные точки $$x' = a \sqrt{\frac{ 1+ t^4}{1 + t^2}}\frac{t(1 - 2t^2 -t^4 )}{(1 + t^4)^2} =0 => t(1 - 2t^2 -t^4 ) = 0 => t_1 = 0, t_2= \sqrt{\sqrt2 -1}$$ определяем знак производной в окресности этих точек, получим
- в точке \( t = 0; x = a; y=0\) производная меняет знак с - на + т.е. это точка минимума
- в точке \( t = \sqrt{\sqrt2-1}; x = a\sqrt{\frac{\sqrt2 + 1}{2}}; y = \frac{1}{\sqrt2}\) производная меняет знак с + на - т.е. это точка максимума
проведем аналогичное исследование и с производной \( y \)
$$y' = (at \sqrt{ \frac{1 + t^2}{ 1+ t^4}})'=(a \sqrt{ \frac{t^2 + t^4}{ 1+ t^4}})'= a \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1+ t^4}{t^2 + t^4}}*\frac{(2t+4t^3)(1+ t^4)-4t^3(1 + t^4)}{(1+ t^4)^2} = $$$$ = a \frac{1}{t} \sqrt{ \frac{1+ t^4}{1 + t^2}}*t*\frac{1+2t^2-t^4}{(1+t^4)^2}= a \sqrt{ \frac{1+ t^4}{1 + t^2}}\frac{1+2t^2-t^4}{(1+t^4)^2}$$ приравняем первую производную к 0 и найдем стационарные точки $$y' = a \sqrt{ \frac{1+ t^4}{1 + t^2}}\frac{1+2t^2-t^4}{(1+t^4)^2} =0 => 1+2t^2-t^4 = 0 => t= \sqrt{\sqrt2 +1}$$ определяем знак производной в окресности этих точек, получим
получили, что в точке \( t = \sqrt{\sqrt2 +1}; x = a \frac{1}{\sqrt2}; y = a \sqrt{\frac{\sqrt2+1}{2}} \) производная меняет знак с + на - т.е. это точка максимума
необходимо определить точку пересечения с осью \( y \), с осью \( x \) уже есть - экстремум. \( x=0, x^4 + y^4 = a^2 (x^2 + y^2) => y^4 = a^2y^2 => y =a\)
Т.о. получидли следующие точки:
\(A:(x = a; y=0)\) точка минимума
\(B:(x = 0; y=a)\) точка пересечения с осью \( y \)
\(C:(x = a\sqrt{\frac{\sqrt2 + 1}{2}}; y = \frac{1}{\sqrt2})\) точка максимума по \( x \)
\(D:(x = a \frac{1}{\sqrt2}; y = a \sqrt{\frac{\sqrt2+1}{2}}) \) точка максимума по \( y \)
Нанесем указанные точки на декартовую систему координам, построим кривую в первой четветри, затем симметрично отобразим ее относительно оси \( Ox\), затем \(Oy\) и получим следующий рещультат
