Рассмотрим типичные приемы решения систем тригонометрических уравнений.
Пример 1. Решить систему уравнений: $$\begin{cases} x + y = \alpha \\ \sin^2x-\sin^y = \alpha \end{cases}$$
Решение: преобразуем левую часть второго уравнения $$\sin^2x-\sin^2y = (\sin x - \sin y)(\sin x + \sin y)$$применим формулы суммы и разности синусов $$2\sin{\frac{x-y}{2}}+\cos{\frac{x+y}{2}}*2\sin{\frac{x+y}{2}}*\cos{\frac{x-y}{2}}=$$ применим формулу синуса двойного угла $$=\sin(x-y)\sin(x+y)$$подставим в систему и получим $$\begin{cases} x + y = \alpha \\ \sin(x-y)\sin(x+y) = \alpha \end{cases}=>\begin{cases} x + y = \alpha \\ \sin(x-y)\sin(\alpha) = \alpha \end{cases}=>\begin{cases} x + y = \alpha \\ \sin(x-y) = \frac{\alpha}{\sin(\alpha)} \end{cases}=>$$необходимо учесть область значений \(|\frac{\alpha}{\sin(\alpha)}| \leq 1 =>|\alpha| \leq |\sin(\alpha)| \)$$\begin{cases} x + y = \alpha \\ x-y = (-1)^n\arcsin{\frac{\alpha}{\sin(\alpha)}}+\pi n, n \in \mathbb Z \\ |\alpha| \leq |\sin(\alpha)| \end{cases}=>\begin{cases} x + y = \alpha \\ x-y = (-1)^n\arcsin{\frac{\alpha}{\sin(\alpha)}}+\pi n, n \in \mathbb Z \\ |\alpha| \leq |\sin(\alpha)| \end{cases}=>$$$$\begin{cases} x = \frac{1}{2}[(-1)^n\arcsin{\frac{\alpha}{\sin(\alpha)}}+\alpha+\pi n], n \in \mathbb Z \\ y = \frac{1}{2}[(-1)^{n-1}\arcsin{\frac{\alpha}{\sin(\alpha)}}-\alpha+\pi n], n \in \mathbb Z \\ |\alpha| \leq |\sin(\alpha)| \end{cases}$$
Пример 2. Решить систему уравнений: $$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}\\ \mbox{tg}x + \mbox{tg}y = 3 \end{cases}$$
Решение: преобразуем левую часть второго уравнения $$ \mbox{tg}x + \mbox{tg}y = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x*\cos y +\sin y*\cos x}{\cos x*\cos y}=$$в первом уравнении есть сумма \(x+y=\frac{\pi}{4}\), поэтому проведем дальнейшее преобразование и применим формулы синуса суммы и произведения косинусов и поручим $$\frac{\sin(x+y)}{\frac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{2}} = \frac{2*\sin(x+y)}{\cos(x+y)+\cos(x-y)}$$путем несложным преобразований мы получили сумму \(x\) и \(y\). Подставим, полученное решение, в систему $$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}\\ \frac{2*\sin(x+y)}{\cos(x+y)+\cos(x-y)} = 3 \end{cases} =>\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}\\ \frac{2*\sin(\frac{\pi}{4})}{\cos(\frac{\pi}{4})+\cos(x-y)} = 3 \end{cases} =>$$$$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}\\ \frac{2\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}+\cos(x-y)} = 3 \end{cases} =>\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}\\ \frac{\sqrt2}{\frac{\sqrt2+2\cos(x-y)}{2}} = 3 \end{cases} =>$$$$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}\\ \frac{2\sqrt2}{\sqrt2+2\cos(x-y)} = 3 \end{cases} =>\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}\\ \frac{2}{1+\sqrt{2}\cos(x-y)} = 3 \end{cases} =>$$$$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}\\ \cos(x-y) = \frac{\frac{2}{3}-1}{\sqrt{2}} = - \frac{1}{3*\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{6} \end{cases} =>$$$$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}\\ x-y =\pm\arccos(-\frac{\sqrt2}{6})+2\pi n \end{cases} =>\begin{cases} x = \frac{\pi}{8} \pm \frac{1}{2}\arccos(-\frac{\sqrt2}{6})+\pi n, n \in \mathbb Z \\ y =\frac{\pi}{8} \mp \arccos(-\frac{\sqrt2}{6}) - \pi n, n \in \mathbb Z \ \end{cases}$$
Пример 3. Решить систему уравнений: $$\begin{cases} \sin(x + y) = 0 \\ \cos(x - y) = -1 \end{cases}$$
Решение: $$\begin{cases} x + y = \pi m \\ x - y = \pi +2\pi n \end{cases}=>\begin{cases} 2x = \pi m +\pi +2\pi n \\ 2y = \pi m -\pi - 2\pi n \end{cases}=>$$$$\begin{cases} x = \frac{\pi}{2}(1 + m + 2n),n,m \in \mathbb Z \\ y = \frac{\pi}{2}(m-2n-1),n,m \in \mathbb Z \end{cases}$$В данном случае обозначать \(m\) и \(n\) одной буквой нельзя, т.к. теряется бесконечное множество решений
