Продолжаем рассматривать приемы решения тригонометрических уравнений. Рассмотрим решение однородных тригонометрических уравнений относительно \(\sin, \cos\) (это означает, что сумма показателей при \(\sin\) и \(\cos\) в каждом члене уравнения одинакова).
Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение: $$\sin^2x-3\sin x\cos x = -1$$
Решение: Проведем следующие преобразования $$\sin^2x-3\sin x\cos x = -1 =>$$$$\sin^2x-3\sin x\cos x + 1=0 =>$$применим основное тригонометрическое тождество $$\sin^2x-3\sin x\cos x + \sin^2 x + \cos^2 x=0 =>$$$$2\sin^2x-3\sin x\cos x + \cos^2x=0 =>$$получили уравнение, которое является однородным относительно \(\sin x\) и \(\cos x\). Заметим, что \(\sin x \ne 0\), в противном случае \(\cos x\) тоже был бы равен нулю, а это не возможно. Разделим уравнение на \(\cos x\) (как отмечалось раннее \(\cos x \ne 0\) ). Получим квадратное уравнение относительно \(\mbox{tgx}\) : $$2 \mbox{tg}^2x-3\mbox{tg}x+1 =0$$найдем корни этого уравнения $$ \mbox{tg}x=\frac{3 \pm \sqrt{9-4*2}}{2*2}=\frac{3 \pm 1}{4}=>$$$$\left[ \begin{gathered}\mbox{tg}x = 1\\ \mbox{tgx} = \frac{1}{2}\end{gathered} \right.=>\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi}{4}+\pi n, n \in \mathbb Z \\ x = \mbox{arctg}\frac{1}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z\end{gathered} \right.$$
Пример 2. Решить уравнение $$\sqrt{\cos x}-\sin x = 0$$
Решение: Установим ОДЗ неизвестного $$\cos x \geq 0 =>-\frac{\pi}{2}+2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2}+2\pi n$$ и так как \(\sqrt{\cos x} \geq 0\), то \(-\sin x \leq 0 => \sin x \geq 0 =>2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2}+2\pi n\), учитывая ОДЗ получим \(2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2}+2\pi n\). Приступим к решению уравнения $$\sqrt{\cos x}-\sin x = 0 =>\sqrt{\cos x} = \sin x $$возведем обе части уравнения в квадрат $$\cos x = \sin^2 x => \cos x = 1 -\cos^2 x =>\cos^2 x + \cos x -1 =0$$получили алгебраическое квадратное уравнение относительно \(\cos x\), найдем его корни $$\cos x =\frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2}$$согласно ОДЗ \(\cos x \geq 0\), т.е. корень \(\cos x =\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\) не подходит, т.о. это уравнение не имеет решения. Уравнение \(\cos x =\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\) имеет решение \(x=\pm \arccos{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}+2\pi n\), учитывая ОДЗ, получим \(x= \arccos{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}+2\pi n, n \in \mathbb Z\).
