Некоторые приемы решения тригонометрических уравнений. Часть №3.

Продолжаем рассматривать приемы решения тригонометрических уравнений. Рассмотрим решение однородных тригонометрических уравнений относительно $\sin, \cos$ (это означает, что сумма показателей при $\sin$ и $\cos$ в каждом члене уравнения одинакова).

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение: $$\sin^2x-3\sin x\cos x = -1$$
Решение: Проведем следующие преобразования $$\sin^2x-3\sin x\cos x = -1 =>$$ $$\sin^2x-3\sin x\cos x + 1=0 =>$$ применим основное тригонометрическое тождество $$\sin^2x-3\sin x\cos x + \sin^2 x + \cos^2 x=0 =>$$ $$2\sin^2x-3\sin x\cos x + \cos^2x=0 =>$$ получили уравнение, которое является однородным относительно $\sin x$ и $\cos x$. Заметим, что $\sin x \ne 0$, в противном случае $\cos x$ тоже был бы равен нулю, а это не возможно. Разделим уравнение на $\cos x$ (как отмечалось раннее $\cos x \ne 0$ ). Получим квадратное уравнение относительно $\mbox{tgx}$ : $$2 \mbox{tg}^2x-3\mbox{tg}x+1 =0$$ найдем корни этого уравнения $$\mbox{tg}x=\frac{3 \pm \sqrt{9-4*2}}{2*2}=\frac{3 \pm 1}{4}=>$$ $$\left[ \begin{gathered}\mbox{tg}x = 1\\ \mbox{tgx} = \frac{1}{2}\end{gathered} \right.=>\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi}{4}+\pi n, n \in \mathbb Z \\ x = \mbox{arctg}\frac{1}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z\end{gathered} \right.$$

Пример 2. Решить уравнение $$\sqrt{\cos x}-\sin x = 0$$
Решение: Установим ОДЗ неизвестного $$\cos x \geq 0 =>-\frac{\pi}{2}+2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2}+2\pi n$$ и так как $\sqrt{\cos x} \geq 0$, то $-\sin x \leq 0 => \sin x \geq 0 =>2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2}+2\pi n$, учитывая ОДЗ получим $2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2}+2\pi n$. Приступим к решению уравнения $$\sqrt{\cos x}-\sin x = 0 =>\sqrt{\cos x} = \sin x$$ возведем обе части уравнения в квадрат $$\cos x = \sin^2 x => \cos x = 1 -\cos^2 x =>\cos^2 x + \cos x -1 =0$$ получили алгебраическое квадратное уравнение относительно $\cos x$, найдем его корни $$\cos x =\frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2}$$ согласно ОДЗ $\cos x \geq 0$, т.е. корень $\cos x =\frac{-1 -  \sqrt{5}}{2}$ не подходит, т.о. это уравнение не имеет решения. Уравнение $\cos x =\frac{-1 +  \sqrt{5}}{2}$ имеет решение $x=\pm \arccos{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}+2\pi n$, учитывая ОДЗ, получим $x= \arccos{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}+2\pi n, n \in \mathbb Z$.