Продолжим рассмотрение приемов решения тригонометрических уравнений. Второй тип уравнений - тригонометрические уравнения, которые приводятся к алгебраическим относительно одной из тригонометрических функций.
Пример 1. Решить уравнение: $$8\sin^2x-2\cos x = 5$$
Решение: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $$8\sin^2x-2\cos x = 5 =>$$$$8-8\cos^2x-2\cos x = 5 =>$$$$8\cos^2x+2\cos x -3= 0$$полученное уравнение является алгебраическим относительно \(\cos x\). Найдем корни уравнения $$\cos x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+4*8*3}}{2*8}=\frac{-2 \pm 10}{2*8}=>$$$$\left[ \begin{gathered}\cos x = -\frac{3}{4}\\ \cos x = \frac{1}{2}\end{gathered} \right. =>\left[ \begin{gathered} x = \pm \arccos \frac{3}{4}+2\pi n, n \in \mathbb Z \\ x = \frac{\pi}{3}+2\pi n, n \in \mathbb Z \end{gathered} \right.$$
Пример 2. Решить уравнение $$8\cos^6x=3\cos 4x+\cos 2x+4$$
Решение: В данном уравнении необходимо привести косинусы к одному углу и используя тригонометрические тождества перейти от 6 степени к более низкой. Приведем данное уравнение к алгебраическому относительно \(\cos 2x\) $$8\cos^6x=3\cos 4x+\cos 2x+4=>$$воспользуемся формулой косинуса двойного угла, это позволит нам понизить степень и перейти к двойному углу$$8\cos^6x=3\cos 4x+\cos 2x+4=>$$$$(2\cos^2x)^3-3(2\cos^22x-1)-\cos 2x-4=0=>$$$$(\cos 2x+1)^3-6\cos^22x+3-\cos 2x-4=0=>$$воспользуемся формулой куба суммы двух величин $$\cos^3 2x+3\cos^22x+3\cos 2x+1-6\cos^22x+3-\cos 2x-4=0=>$$$$\cos^3 2x-3\cos^22x+2\cos 2x=0=>$$$$\cos 2x(\cos^2 2x-3\cos2x+2)=0=>$$переходим к решению совокупности уравнений$$\left[ \begin{gathered} \cos 2x = 0 \\ \cos^2 2x-3\cos2x+2 =0 \end{gathered} \right. =>\left[ \begin{gathered} 2x = \frac{\pi}{2}+\pi n \\ \cos 2x=\frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2}=\frac{3 \pm 1}{2}\end{gathered} \right. =>$$с учетом того, что область значений косинуса \(|\cos 2x| \leq 1\) получим следующую совокупность уравнений $$\left[ \begin{gathered} 2x = \frac{\pi}{2}+\pi n \\ \cos 2x=1 \end{gathered} \right. =>\left[ \begin{gathered} 2x = \frac{\pi}{2}+\pi n \\ \ 2x=2\pi n \end{gathered} \right. =>\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2} n, n \in \mathbb Z \\ \ x=\pi n , n \in \mathbb Z \end{gathered} \right.$$
Пример 3. Решить и исследовать уравнение $$\sin^4x+\cos^4x+\sin 2x+a=0$$при каких значениях параметра \(a\) уравнение будет иметь решения.
Решение: Преобразуем левую часть, приведем все к одному углу и одной тригонометрической функции. Сумму \( \sin^4x+\cos^4x\) очень удобно преобразовать в квадрат суммы двух величин, но для этого нам не хватает удвоенного произведения двух величин, прибавим и вычтем его $$\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x-2\sin^2x\cos^2x+\sin 2x+a=0=>$$$$(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x+\sin 2x+a=0 =>$$данный прием позволил нам понизить степень и получить основное тригонометрическое тождество \(\sin^2x+\cos^2x=1\) $$1-2\sin^2x\cos^2x+\sin 2x+a=0 =>$$применим формулу синуса двойного угла $$1-\frac{1}{2}\sin^22x+\sin 2x+a=0 =>$$$$\frac{1}{2}\sin^22x-\sin 2x-(a+1)=0 =>$$$$\sin^22x-2\sin 2x-2(a+1)=0 =>$$получили алгебраическое уравнение относительно \(\sin 2x\). Найдем его корни $$\sin 2x = \frac{2 \pm \sqrt{4+4*2(a+1)}}{2}=\frac{2 \pm \sqrt{12+8a}}{2}=\frac{2 \pm 2\sqrt{4+2a}}{2}=1 \pm \sqrt{3+2a}$$Для решения уравнения \(\sin 2x =1 \pm \sqrt{3+2a}\) составим систему уравнений и учтем область значений \(E(y)\) синуса \(|\sin 2x| \leq 1\) и ОДЗ корня, выражение под корнем \(\geq 0\), получим $$\begin{cases} |1 \pm \sqrt{3+2a}| \leq 1 \\ 3+2a \geq 0 \end{cases} =>\begin{cases} |1 + \sqrt{3+2a}| \leq 1 \\ |1 - \sqrt{3+2a}| \leq 1 \\ a \geq -\frac{3}{2} \end{cases} =>$$$$\begin{cases} -1 \leq 1+ \sqrt{3+2a} \leq 1 \\ -1 \leq 1 - \sqrt{3+2a} \leq 1 \\ a \geq -\frac{3}{2} \end{cases} =>\begin{cases} -2 \leq \sqrt{3+2a} \leq 0 \\ \ 0 \leq \sqrt{3+2a} \leq 2 \\ a \geq -\frac{3}{2} \end{cases} =>$$с учетом области значения корня (корень больше или равен 0) первое неравенство будет истинно только при одном значении корня - 0$$\begin{cases} \sqrt{3+2a} = 0 \\ 0 \leq 3+2a \leq 4 \\ a \geq -\frac{3}{2} \end{cases} =>\begin{cases} a = -\frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} \leq a \leq \frac{1}{2} \\ a \geq -\frac{3}{2} \end{cases} $$Таким образом мы имеем два решения
- уравнение \(\sin 2x =1 - \sqrt{3+2a}\) имеет решение только при \( -\frac{3}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}\)
\(x=(-1)^n\frac{\arcsin(1 - \sqrt{3+2a})}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z\) - уравнение \(\sin 2x =1 + \sqrt{3+2a}\) имеет один корень при \(a = -\frac{3}{2}=>\sin 2x =1=>x=\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in \mathbb Z\), это решение включается в решение, полученное в п.1
