Рассмотрим метод решения на следующем примере $$\lim_{n \to \infty}\frac{3n^2}{2n^2+3}=\frac{3}{2}$$ Вспомним определение предела последовательности.
Последовательность \({x_n}\) называется сходящейся, если существует такое число \(a\), что последовательность \({x_n-a}\) является бесконечно малой, т.е. \(\forall \varepsilon >0 \quad \exists N=N(\varepsilon)\) такое, что при всех \(n>N\) элементы \(x_n\), этой последовательности удовлетворяет неравенству \( |x_n-a| < \varepsilon \). При этом число \(a\) называется пределом последовательности \(x_n\), что символически записывается так: $$\lim_{n \to \infty}x_n=a$$ Хочу обратить внимание на основные моменты из определения, которые понадобятся при доказательстве.
- Если мы говорим \(\forall \varepsilon >0\), то это означает, что какое бы сколь угодно малое \( \varepsilon >0\).
- Если мы говорим \(\exists N=N(\varepsilon)\), то это означает, что чем меньше \( \varepsilon \), тем больше будет \(N(\varepsilon)\).
Вот мы и получили зависимость между \( \varepsilon \) и \( N \). Суть доказательства сводится к нахождению этой зависимости, т.е. если мы найдем \(N(\varepsilon)\), для которого выполняется неравенство \( |x_n-a| < \varepsilon \), то это и будет доказательством того, что последовательность имеет предел равный \(a\).
Приступим к доказательству. Запишем неравенство, согласно определения \( |x_n-a| < \varepsilon \) $$|\frac{3n^2}{2n^2+3}-\frac{3}{2}|< \varepsilon => |\frac{6n^2-6n^2-9}{2(2n^2+3)}|< \varepsilon $$$$|\frac{-9}{2(2n^2+3)}|< \varepsilon =>\frac{9}{2(2n^2+3)}< \varepsilon$$$$\frac{9}{2 \varepsilon} < 2n^2+3 =>\sqrt{\frac{9}{4 \varepsilon}-\frac{3}{2}} < n $$ Обозначим за \(N=N(\varepsilon)=\sqrt{\frac{9}{4 \varepsilon}-\frac{3}{2}}\), т.е. мы нашли \(N=N(\varepsilon)\)такое, что для любого сколь угодно малого \( \varepsilon >0\) при всех \(n>N\) элементы \(x_n\) этой последовательности удовлетворяет неравенству \( |x_n-a| < \varepsilon \).
Равенство доказано.
