Рассмотрим распространенную задачу на использование правила суммы для конечных множеств (которые пересекаются).
В качестве примера рассмотрим следующую задачу:
В лингвистическом центре занимается 40 человек. Каждый из них изучает не менее одного иностранного языка: английский, немецкий, французский. Английский язык изучают 24 человека, немецкий - 18, а французский - 14. Известно , что 9 человек изучают английский и немецкий, 6 - английский и французский, 5 - немецкий и французский. Сколько человек изучают одновременно 3 языка?
Запишем условие задачи, используя обозначения множеств и операции над множествами:
\(A,H,\Phi\) - множества людей, изучающих соответственно английский, немецкий, французский.
Т.к. по условию задачи множества конечны, то мощность, например, множества \(A\) - обозначается как \(|A|\) и равна числу элементов множества, т.е. количеству людей изучающих английский язык, запишем это:
\(|A|\) - 24 количество человек, изучающих английский
\(|H|\) - 18 количество человек, изучающих немецкий
\(|\Phi|\) - 14 количество человек, изучающих французский
так же известно количество человек, изучающих два языка, т.е. это объединение множеств людей изучающих разные языки
\(|A \cap H|\) - 9 количество человек, изучающих английский и немецкий
\(|A \cap \Phi|\) - 6 количество человек, изучающих английский и французский
\(|H \cap \Phi|\) - 5 количество человек, изучающих немецкий и французский
Также известно, что в центре занимаются 40 человек, т.е. это все количество людей, изучающих языки, запишем это условие
\(|A \cap H \cap \Phi|\) - 40 количество человек, обучающихся в центре.
Найти количество человек, изучающих 3 языка, это можно записать как \(|А \cap H \cap \Phi|\).
Запишем правило сумм для трех конечных множеств
$$|А \cap H \cap \Phi| = |А| +|H| +|\Phi| - |A \cap H| -|A \cap \Phi| - |H \cap \Phi| +|A \cap H \cap \Phi| =>$$$$|A \cap H \cap \Phi|=|А \cap H \cap \Phi| - |А| -|H| -|\Phi| + |A \cap H| + |A \cap \Phi| + |H \cap \Phi| $$ подставим цифры из условия задачи $$|A \cap H \cap \Phi|=40 - 24 -18 -14 + 9 + 6 + 5 = 4$$ Ответ: 4 человека изучают 3 языка.
