Зміст завдання: При якому найменшому цілому значенні параметра a рівняння \sqrt{2x+15} * (\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25})=a*\sqrt{2x+15}
Рішення: \sqrt{2x+15} * (\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25}) -a*\sqrt{2x+15} =0 => \\ \sqrt{2x+15} * (\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25}-a) =0 =>\\ \left\{ \begin{array}{l l} \sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25}-a =0\\ \sqrt{2x+15} =0 \text{ перший корень}\\ \sqrt{2x+15} \geq 0 \text{ Область допустимих значень} \end{array} \right. =>\left\{ \begin{array}{l l} \sqrt{(x+9)^2}-\sqrt{(x-5)^2}-a =0\\ 2x+15 =0 \text{ перший корень}\\ 2x+15 \geq 0 \text{ Область допустимих значень} \end{array} \right. => \\ \left\{ \begin{array}{l l} |x+9|-|x-5|-a =0\\ x = -7,5 \text{ перший корень}\\ x \geq -7,5 \text{ Область допустимих значень} \end{array} \right.
x \in (\infty; -9] \cup [-9;5] \cup [5;+\infty) \cap [-7,5; +\infty) => x \in [-7,5; 5] \cup [5;+\infty)
- x \in [-7,5; 5] - \left\{\begin{matrix} |x+9|, x\geq -9 \\|x-5|, x < 5 \end{matrix}\right.\ => \left\{\begin{matrix} x+9, x\geq -9 \\-x+5, x < 5 \end{matrix}\right.
|x+9|-|x-5|-a =0 => x+9 -(-x+5)-a =0 =>x+9+x-5-a=0 =>a = 2x+4 - x \in [5; +\infty) - \left\{\begin{matrix} |x+9|, x\geq -9 \\|x-5|, x \geq 5 \end{matrix}\right.\ => \left\{\begin{matrix} x+9, x\geq -9 \\x-5, x \geq 5 \end{matrix}\right.
|x+9|-|x-5|-a =0 => x+9 -(x-5)-a =0 =>x+9 -x+5-a =0 => a=14На даному інтервалі рівняння буде істинним при a=14 і будь-якому х, але нам потрібно тільки 2 корені, цей інтервал не підходить.
Один корінь уже знайдений, він дорівнює х=-7.5, знайдемо на інтервалі x \in [-7,5; 5] другий корінь це найменше число, яке при множенні на 2 дає ціле число - 7 (-7,5 - перший корінь) =>a = 2x+4 => a = -7*2+4=-10
Відповідь: -10.