Loading Web-Font TeX/Math/Italic
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Зовнішнє незалежне оцінювання 2012 року з математики (1 сесія). Завдання № 32.

Зміст завдання: При якому найменшому цілому значенні параметра a рівняння \sqrt{2x+15} * (\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25})=a*\sqrt{2x+15}

має лише два різні корені?
Рішення: \sqrt{2x+15} * (\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25}) -a*\sqrt{2x+15} =0 => \\ \sqrt{2x+15} * (\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25}-a) =0 =>\\ \left\{ \begin{array}{l l} \sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25}-a =0\\ \sqrt{2x+15} =0 \text{  перший корень}\\ \sqrt{2x+15} \geq 0 \text{  Область допустимих значень}  \end{array} \right. =>\left\{ \begin{array}{l l} \sqrt{(x+9)^2}-\sqrt{(x-5)^2}-a =0\\ 2x+15 =0 \text{  перший корень}\\ 2x+15 \geq 0 \text{  Область допустимих значень}  \end{array} \right. => \\ \left\{ \begin{array}{l l} |x+9|-|x-5|-a =0\\ x = -7,5 \text{  перший корень}\\ x \geq -7,5 \text{  Область допустимих значень}  \end{array} \right.
розкриємо модулі, як відомо |x| =\left\{\begin{matrix}x, x\geq 0 \\-x, x <  0 \end{matrix}\right.  тобто |x+9|=\left\{\begin{matrix}x+9, x\geq -9 \\-x-9, x <  -9 \end{matrix}\right.\\|x-5|=\left\{\begin{matrix}x-5, x\geq 5 \\-x+5, x <  5 \end{matrix}\right.
Для розкриття модулів у рівнянні необхідно розглянути 3 інтервали з урахуванням ОДЗ [-7,5; +\infty)

 x \in (\infty; -9] \cup [-9;5] \cup [5;+\infty) \cap [-7,5; +\infty) => x \in  [-7,5; 5] \cup [5;+\infty)

  1. x \in  [-7,5; 5] - \left\{\begin{matrix} |x+9|, x\geq -9 \\|x-5|, x <  5 \end{matrix}\right.\ => \left\{\begin{matrix} x+9, x\geq -9 \\-x+5, x <  5 \end{matrix}\right.
    |x+9|-|x-5|-a =0 => x+9 -(-x+5)-a =0 =>x+9+x-5-a=0 =>a = 2x+4
  2.  x \in  [5; +\infty) - \left\{\begin{matrix} |x+9|, x\geq -9 \\|x-5|, x \geq 5 \end{matrix}\right.\ => \left\{\begin{matrix} x+9, x\geq -9 \\x-5, x \geq  5 \end{matrix}\right.
    |x+9|-|x-5|-a =0 => x+9 -(x-5)-a =0 =>x+9 -x+5-a =0 => a=14
    На даному інтервалі рівняння буде істинним при a=14 і будь-якому х, але нам потрібно тільки 2 корені, цей інтервал не підходить.

Один корінь уже знайдений, він дорівнює х=-7.5, знайдемо на інтервалі x \in  [-7,5; 5] другий корінь це найменше число, яке при множенні на 2 дає ціле число - 7 (-7,5 - перший корінь) =>a = 2x+4 => a = -7*2+4=-10

 Відповідь: -10.

Captcha Challenge
Reload Image
Type in the verification code above