Зміст завдання: При якому найменшому цілому значенні параметра \(a\) рівняння $$\sqrt{2x+15} * (\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25})=a*\sqrt{2x+15}$$ має лише два різні корені?
Рішення: $$\sqrt{2x+15} * (\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25}) -a*\sqrt{2x+15} =0 => \\ \sqrt{2x+15} * (\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25}-a) =0 =>\\ \left\{
\begin{array}{l l}
\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25}-a =0\\
\sqrt{2x+15} =0 \text{ перший корень}\\
\sqrt{2x+15} \geq 0 \text{ Область допустимих значень}
\end{array} \right. =>\left\{
\begin{array}{l l}
\sqrt{(x+9)^2}-\sqrt{(x-5)^2}-a =0\\
2x+15 =0 \text{ перший корень}\\
2x+15 \geq 0 \text{ Область допустимих значень}
\end{array} \right. => \\ \left\{
\begin{array}{l l}
|x+9|-|x-5|-a =0\\
x = -7,5 \text{ перший корень}\\
x \geq -7,5 \text{ Область допустимих значень}
\end{array} \right. $$розкриємо модулі, як відомо \(|x| =\left\{\begin{matrix}x, x\geq 0 \\-x, x < 0 \end{matrix}\right.\) тобто $$|x+9|=\left\{\begin{matrix}x+9, x\geq -9 \\-x-9, x < -9 \end{matrix}\right.\\|x-5|=\left\{\begin{matrix}x-5, x\geq 5 \\-x+5, x < 5 \end{matrix}\right.$$Для розкриття модулів у рівнянні необхідно розглянути 3 інтервали з урахуванням ОДЗ \([-7,5; +\infty)\)
\(x \in (\infty; -9] \cup [-9;5] \cup [5;+\infty) \cap [-7,5; +\infty) => x \in [-7,5; 5] \cup [5;+\infty)\)
- \(x \in [-7,5; 5]\) - \(\left\{\begin{matrix} |x+9|, x\geq -9 \\|x-5|, x < 5 \end{matrix}\right.\ => \left\{\begin{matrix} x+9, x\geq -9 \\-x+5, x < 5 \end{matrix}\right.\)
$$|x+9|-|x-5|-a =0 => x+9 -(-x+5)-a =0 =>x+9+x-5-a=0 =>a = 2x+4$$ - \(x \in [5; +\infty)\) - \(\left\{\begin{matrix} |x+9|, x\geq -9 \\|x-5|, x \geq 5 \end{matrix}\right.\ => \left\{\begin{matrix} x+9, x\geq -9 \\x-5, x \geq 5 \end{matrix}\right.\)
$$|x+9|-|x-5|-a =0 => x+9 -(x-5)-a =0 =>x+9 -x+5-a =0 => a=14$$На даному інтервалі рівняння буде істинним при \(a=14\) і будь-якому х, але нам потрібно тільки 2 корені, цей інтервал не підходить.
Один корінь уже знайдений, він дорівнює х=-7.5, знайдемо на інтервалі \(x \in [-7,5; 5]\) другий корінь це найменше число, яке при множенні на 2 дає ціле число - 7 (-7,5 - перший корінь) =>$$a = 2x+4 => a = -7*2+4=-10$$
Відповідь: -10.
