Зміст завдання: Основою прямої призми \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) є рівнобічна трапеція \(ABCD\). Основа \(AD\) трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу \(BC\). Через бічне ребро \(CC_{1}\) призми проведено площину паралельно ребру \(AB\). Знайдіть площу утвореного перерізу (у \(см^2\)), якщо об’єм призми дорівнює 672 \(см^3\), а її висота — 8 см.
Рішення: Позначимо шуканий розріз як \(CC_ {1}M_{1}M\) , у розрізі ми отримали прямокутник, тому що площина проходить через ребро \(CC_1\), відповідно вона також перпендикулярна основам. Площа прямокутника дорівнює \(S = CC_1 * CM\). Сторона \(CC1\) відома, необхідно знайти \(CM\). Розглянемо осносу призми - рівнобічну трапецію \(ABCD\). За умовою завдання \(CM || AB\) і відповідно \(AB = CM\) (як сторони паралелограма). Знайдемо \(CM\). Об’єм призми дорівнює 672 \(см ^ 3 \) \(V_ {пр} = S_ {осн} * h_ {пр}\), де \(h_ {пр} = CC1 = 8 см\). Основою є трапеція, площа трапеції дорівнює \(S_ {тр} = \frac {a + b}{2} * h_ {тр} \), де \(a \) і \(b \) - основи трапеції (AD, BC), \(AD = 6 * BC = 6 * CP = 6x\) (позначимо за x = ВС). $$V_{пр} = S_{осн}*h_{пр} => V_{пр} = \frac{AD + BC}{2}*h_{тр}*h_{пр} => \\ V_{пр } = \frac{6x + x}{2}*6x*8 => 672 = \frac{42x^2}{2}*8 =>x^2 = 4 => x = 2 $$
Розглянемо прямокутний \( Δ MCP, CP = h_ {тр} = 6 * x\) на підставі теореми Піфагора одержимо \(MC = \sqrt{MP^2 + CP^2}\). З умови завдання відомо , що \(CP = AD = 6 * BC = 6x = 12\), \(AB | | MC => ABCM\) - паралелограм => \(AB = MC = CD => ΔMCD\) - рівнобедрений трикутник, згідно властивості рівнобедреного трикутника - вісота, бесіктріса і медіана, опущені з вершини трикутника на його підставу рівні і збігаються отримаємо $$MP = PD = \frac{1}{2} MD = \frac{AD-BC}{2} = \frac{6*x-x}{2} = \frac{5*x}{2} = \frac{5*2}{2} = 5,\\ MC = \sqrt{MP^2 + CP^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\\S_{CC_{1}M_{1}M}=MC*CC_1 =13 * 8 = 104 $$
Відповідь: 104 \(см^2\)
