Зміст завдання: Обчисліть \( \frac{1}{\pi}\int_{-5}^{0} \sqrt{25-x^2}dx \), використовуючи рівняння кола \(x^2+y^2=25\), зображеного на рисунку.
Теорія до завдання: Геометричний зміст визначеного інтеграла. Якщо \(f (x)\) неперервна і позитивна на відрізку [a, b], то інтеграл є площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями \(y = 0, x = a, x = b, y = f (x) \)
Рішення: Згідно з "Теорією до завдання" можна зробити висновок, що в завданні потрібно знайти площу фігури на відрізку [-5, 0], обмежену зверху кривою окружності, знизу віссю \(x \), праворуч віссю \(y \), ліворуч вона перетинається з віссю \(x \) - це буде черверть кола
У задініі дано рівняння окружності \(x ^ 2 + y ^ 2 = 25 \), де \(r ^ 2 = 25 => r = 5 \). Як відомо площа кола розраховується за формулою \(S = \pi r ^ 2 \). Площа чверті кола відповідно \(\frac{s}{4} \). Підставимо отримані зачение в формулу \(S_ {\frac {1}{4}} = \int_{-5}^{0} \sqrt{25-x^2}dx = \frac {1}{4} \pi r ^ 2 \).$$ \frac{1}{\pi}\int_{-5}^{0} \sqrt{25-x^2}dx = \frac{1}{\pi} (\frac {1}{4} \pi r ^ 2) = \frac {1}{4} 5^2 = 6.25$$Відповідь: 6.25.
