Зовнішнє незалежне оцінювання 2012 року з математики (1 сесія). Завдання № 23.

Зміст завдання : Розв'яжіть рівняння (1-4). Установіть вдповідність між кожним рівнянням та кількістью його коренів (А-Д) на відразку [-5; 5].

Теорія до завдання:

Розв'яжіть рівняння - знайти таки значень аргументів (х), при яких ця рівність досягається. Аргументи заданих функцій (іноді називаються «змінними») у разі рівняння називаються «невідомими». Значення невідомих, при яких ця рівність досягається, називаються рішеннями або корінням даного рівняння. Про коріння кажуть, що вони задовольняють даним рівнянню. Вирішити рівняння означає знайти множину всіх його рішень (коріння) або довести, що коренів немає.

Рішення: знайдемо корені кожного рівняння $$1)\quad \cos^2x-\sin^2x=1 => \cos^2x-\sin^2x -1 = 0 =>\cos^2x-\sin^2x -\cos^2x -\sin^2x = 0 =>$$$$-2\sin^2x = 0 => \sin x = 0 =>x = \pi n, n\in Z$$ рахуємо кількість коренів
1. n=0, x=0
2. n=1,  \(x=\pi*1\)=\(\pi\) (3.14)
3. n=-1, \(x=\pi*(-1)\)=\(-\pi\)
4. n=2, \(x=\pi*2= 6.28 >5\)
Висновок 3 кореня

$$2) \quad \log_{3}x=-2 =>\log_{3}x=-2*\log_{3}3 =>\log_{3}x=\log_{3}3^{-2} =>x=3^{-2}=>x=\frac{1}{9}$$Висновок 1 корень

$$3) \quad \frac{x^3-4x}{x^3+8}=0 => \left\{ \begin{array}{l l} x^3-4x=0\\
    x^3+8 \ne 0\\
  \end{array} \right. => \left\{
  \begin{array}{l l}
    x(x^2-4)=0\\
    x^3 \ne -8\\
  \end{array} \right. => \left\{
  \begin{array}{l l}
    x_{1}=0, x_{2}=2, x_{3}=-2\\
    x \ne -2\\
  \end{array} \right.$$Висновок 2 кореня

 $$4) \quad x^4+5x^2+4=0$$В даному рівнянні всі члени завжди позитивні, тому рівняння ніколи не буде дорівнювати 0
Висновок 0 коренів

Відповідь: