Зовнішнє незалежне оцінювання 2012 року з математики (1 сесія). Завдання № 20.

Продовжуємо вивчати завдання зно з математики 2012

Зміст завдання : Функція $f(x)$ має в точці xο похідну $f'(x_{0}) = -4$ . Визначте значення похідної функції $g(x) = 2*f(x) + 7x - 3$ в точці x_{ο}.

Відповіді до завдання:

Теорія до завдання: Похідною функції $y=f(x)$ в точці xo називається границя відношення приросту Δy  функції до приросту Δx аргументу за умови, що границя існує, а приріст Δx аргументу прямує до нуля, тобто $$f^{,}(x) = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} =  \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x_{0} +\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$$
Функція $y = f(x)$ в точці $x_{ο}$ називається диференційовною, якщо в цій точці вона має похідну f'(x).
Якщо функції $f_{1}(x)$ і $f_{2}(x)$ в точці $x_{ο}$ мають похудні, то функція $y =   f_{1}(x) \pm f_{2}(x)$ в точці також має похідну, яка дорівнює $$y^{,} =   (f_{1}(x) \pm f_{2}(x))^{,} = f^{,}_{1}(x) \pm f^{,}_{2}(x)$$
Рішення: з умови завдання випливає, що функції $f(x)$ і $g(x)$  мають похідну в точці $x_{ο}$ скористаємося зазначеним вище правилом $$g(x) = 2*f(x) + 7x - 3$$ знайдемо похідну $g'(x)$ $$g^{,}(x) = (2*f(x) + 7x - 3)^{,} = (2*f(x))^{,} + (7x)^{,} - (3)^{,}$$
$$g^{,}(x) = 2*f^{,}(x) + 7$$
Визначимо значення похідної функції $g(x)$ в точці $x_{ο}$.
$$g^{,}(x_{0}) = 2*f^{,}(x_{0}) + 7 = 2*(-4) + 7 = -8 + 7 = -1$$

Відповідь: В: -1.