Необходимо сравнить два логарифма, например \(log_{4}{5}\) и \(\log_{5}{6}\). Для решения будем использовать следующие способы:
Первый способ (вычитание единицы).
Из каждого лагорифма вычтем по 1.$$ log_{4}{5} - 1 = log_{4}{\frac{5}{4}}$$$$ log_{5}{6} - 1 = log_{5}{\frac{6}{5}}$$
Воспользуемся следующим свойством лагорифми
если c > a > 1, то при b > 1 справедливо неравенство \(log_{a}{b} > log_{c}{b}\). Графически это хорошо видно, кравая логарифма с большим основанием лежит ниже кривой логарифма с меньшим основанием $$ log_{5}{\frac{6}{5}} < log_{4}{\frac{6}{5}}$$
Данный прием был сделан, чтобы перейти к основанию 4. Это даст нам возможность провести сравнение со вторым логарифмом$$ log_{5}{\frac{6}{5}} < log_{4}{\frac{6}{5}} < log_{4}{\frac{5}{4}}$$ Второе неравенство было получено на основании свойства монотонности логарифма, т.к. основание логарифма >1, логарифмическая функция монотонно возрастает, т.е большему значению числа под лагорифмом соответствует большее значение логарифма. \(\frac{6}{5} < \frac{5}{4}\) таким образом получили $$log_{5}{\frac{6}{5}} < log_{4}{\frac{5}{4}}$$$$log_{5}{\frac{6}{5}}+1 < log_{4}{\frac{5}{4}}+1$$$$log_{5}{6} < log_{4}{5}$$
Второй способ (неравенство Коши).
Запишем неравенство $$\sqrt{ab}< \frac{a+b}{2}$$ где a>0, b>0. В нашем случае неравенство можно применить,т.к. числа под лагорифмом >1. т.е. логарифмы положительные. В правой части мы видем сложение a+b , т.е. придется складывать два логарифма, поэтому обозначим за а = \(log_{5}{4}=\frac{1}{\log_{4}{5}}\), b = \(log_{5}{6}\)
Подставил логарифмы в формулу $$\sqrt{\log_{5}{4} \log_{5}{6}}< \frac{\log_{5}{4}+ \log_{5}{6}}{2} \Rightarrow$$$$\sqrt{\frac{\log_{5}{6}}{\log_{4}{5}}}< \frac{\log_{5}{4}+ \log_{5}{6}}{2} \Rightarrow$$$$\sqrt{\frac{\log_{5}{6}}{\log_{4}{5}}}< \frac{\log_{5}{24}}{2} < \frac{\log_{5}{25}}{2} \Rightarrow$$$$\sqrt{\frac{\log_{5}{6}}{\log_{4}{5}}}< \frac{\log_{5}{24}}{2} < 1\Rightarrow$$$$\sqrt{\frac{\log_{5}{6}}{\log_{4}{5}}} < 1$$возведем в квадрат обе части неравенства$$\frac{\log_{5}{6}}{\log_{4}{5}} < 1\Rightarrow$$$$\log_{5}{6}<\log_{4}{5}$$
