ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 33.

Завдання: Через точки A і B, що лежать на колах верхньої та нижньої основ циліндра і не належать однії твірній, проведено площину паралельно осі циліндра. Відстань від центра нижньої основи до цієї площини дорівнює 2 см, а площа утвореного перерізу - $60\sqrt{2}см^2$. Визначте довжину відрізка AB (у см), якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює $20\sqrt{30}\pi см^2$

Рішення:  рассмотрим рисунок
 

Искомый отрезок $AB$ - диагональ прямоугольника, полученного в результате сечения цилиндра плоскостью, которая параллельна оси цилиндра, площадь сечения по условию задачи равна $S = AC*AD = 60\sqrt{2}$. 

Отрезок $AB$ будем находить из прямоугольного треугольника ΔABD по теореме Пифагора $AB = \sqrt{AD^2+BD^2} = \sqrt{AD^2+AC^2}$. 

Найдем стороны $AC$ и $AD$.
Согласно условия задачи площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок}  =20\sqrt{30}\pi$. Площадь боковой поверхности цилиндра рассчитывается по формуле $S_{бок} = 2\pi RH$ - где R - радиус окружности основания цилиндра, H - высота цилиндра $H = AC$. Подставляем данные в формулу площади боковой поверхности

$$2\pi R*AC = 20\sqrt{30}\pi =>  AC*R = 10\sqrt{30}$$ В полученной формуле неизвестен радиус R. Найдем его из треугольника ΔAFO по теореме Пифагора $$AF^2+FO^2=AO^2$$ где AO=R, OF=2, $AF=\frac{1}{2}AD$, получаем $$\frac{1}{4}AD^2+4=R^2$$
Получили три уравнения с тремя неизвестными, составим систему уравнений и найдем  $AC$ и $AD$ $$\begin{cases}AC*AD = 60\sqrt{2}\\AC*R = 10\sqrt{30} \\ \frac{1}{4}AD^2+4=R^2 \end{cases}=> \begin{cases}AC =\frac{ 60\sqrt{2}}{AD}\\\frac{ 60\sqrt{2}}{AD}*\sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} = 10\sqrt{30} \\ R = \sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} \end{cases}=>$$ $$\begin{cases}AC =\frac{ 60\sqrt{2}}{AD}\\ 6\sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} = \sqrt{15}AD \\ R = \sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} \end{cases}=> \begin{cases}AC =\frac{ 60\sqrt{2}}{AD}\\ 36\frac{1}{4}AD^2+4*36 = 15AD^2 \\ R = \sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} \end{cases}=>$$ $$\begin{cases}AC =\frac{ 60\sqrt{2}}{AD}\\ 6AD^2=4*36 \\ R = \sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} \end{cases}=>  \begin{cases}AC =10\sqrt{3}\\ AD=\sqrt{24} \\ R = \sqrt{10} \end{cases}$$
 

Из прямоугольного треугольника ΔABD по теореме Пифагора $AB = \sqrt{AD^2+BD^2} = \sqrt{AD^2+AC^2}$

$$AB = \sqrt{(\sqrt{24})^2+(10\sqrt{3})^2} = \sqrt{24+300} = 18$$

Відповідь:  довжину відрізка $AB=18$.

  попереднє завдання № 32     наступне завдання № 34