Зміст завдання : Запишіть числа \(\sqrt[3]{2}\) , 1, \(\sqrt[5]{3}\) в порядку зростання.
Відповіді до завдання:
А |
Б |
В |
Г |
Д |
\(1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[5]{3}\) |
\(1,\sqrt[5]{3}, \sqrt[3]{2}\) |
\(\sqrt[3]{2},\sqrt[5]{3}, 1\) |
\(\sqrt[5]{3}, 1,\sqrt[3]{2}\) |
\(\sqrt[3]{2}, 1,\sqrt[5]{3}\) |
Теорія до завдання: Для вирішення даного завдання можна використати властивості числових нерівностей. Одне з властивостей числових нерівностей:
нерівності з однаковими знаками, у яких ліві й праві частині — додатні числа, можно почленно перемножувати.
Наприклад, якщо a, b, c, d — додатні й a < b, c < d, то ac < bd. Із цього випливає, що коли b > a > 0, n є N, то an < bn.
Рішення: Згідно завдання нам необхідно визначити - яке з чисел більше 1, \(\sqrt[5]{3}\) або \(\sqrt[3]{2}\). Розглянемо першу пару \(\sqrt[5]{3}\) та \(\sqrt[3]{2}\) обидва числа позитивні, тому можна скористати властівістю, яка вказана в розділі Теорія до завдання. Ця властівість нам потрібна, щоб позбутися від дробового степеня.
Припустимо, що число \(\sqrt[5]{3}\) < \(\sqrt[3]{2}\). Зведемо обидві частини нерівності до степеня n, де N - найменше спільне кратне для чисел 3 і 5 - n = 15.
Отримуємо
$$(\sqrt[5]{3})^{15} < (\sqrt[3]{2})^{15} \Rightarrow$$$$ 3^{\frac{15}{5}} < 2^{\frac{15}{3}} \Rightarrow$$$$ 3^3 < 2^5 \Rightarrow$$$$ 27 < 32$$
Наше припущення виявилося істинним.
Порівняємо з 1. Як відомо 1 в будь-якому степені буде дорівнює 1. 1 - найменше число.
Таким чином ми отримали що $$1 < \sqrt[5]{3} < \sqrt[3]{2}$$
Відповідь: Б: \(1, \sqrt[5]{3}, \sqrt[3]{2}\).
