Завдання: Найдіть найменше значення параметра a, при якому рівняння 2^{\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4})} = \frac{4}{(x-a)^2 - 6(x-a) + 13} має додатний корінь.
Рішення:
В задании нужно найти наименьшее значение параметра a, я акцентирую на слове наименьшее, это говорит, что нужно искать экстремум функции, но так как мы ищем параметр a, то это параметр и будет независимой переменной, а x - будет постоянной.
Схема решения задания:
1. Найдем найдем экстремум функции f(a). Для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю
(2^{\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4})})'_a = (\frac{4}{(x-a)^2 - 6(x-a) + 13})'_a => (\frac{4}{(x-a)^2 - 6(x-a) + 13})'_a = 0
производная по параметру a функции (2^{\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4})})'_a = 0. Найдем производную дроби по формуле производной (\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}\frac{0*((x-a)^2 - 6(x-a) + 13) - 4((x-a)^2 - 6(x-a) + 13)'}{((x-a)^2 - 6(x-a) + 13)^2} = 0
\frac{- 4(2(x-a)(-1) + 6)}{((x-a)^2 - 6(x-a) + 13)^2} = 0 =>
\frac{x-a - 3}{((x-a)^2 - 6(x-a) + 13)^2} = 0 => a = x-3
2. Найдем положительный корень. Для этого подставим полученное значение a = x-3 в равенства и найдем x
2^{\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4})} = \frac{4}{(x-a)^2 - 6(x-a) + 13} =>
подставляем a = x-3
2^{\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4})} = \frac{4}{(x-x+3)^2 - 6(x-x+3) + 13} =>
2^{\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4})} = \frac{4}{9 -18 + 13} => 2^{\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4})} = 1 =>
2^{\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4})} = 2^0 =>
\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4}) = 0 =>
синус равен 0 при \sin(x) =0 => x = \pi n, n \in Z, получаем 2\pi x + \frac{5\pi}{4} = \pi n => x = \frac{n}{2} - \frac{5}{8}
по условию , нам нудно найти положительный x, т.е. \frac{n}{2} - \frac{5}{8} > 0 => \frac{n}{2} > \frac{5}{8} => n > \frac{5}{4}
т.к. n - целое число, то наименьшее целое, при котором выполняется это неравенство равно n =2, получили x = \frac{n}{2} - \frac{5}{8} => x = \frac{2}{2} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}
Получили положительный корень, теперь можно получить и a a = x-3 => \frac{3}{8} - 3 = -2,625
Відповідь: \begin{array}{|c|c|c|}\hline & & - & 2& , &6 &2 &5 \\ \hline \hline \end{array}
Темы:
математика, зно, пробне зно з математики, пробне зно 2014, ,