Пробне ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 33.

Завдання: Основою піраміди $SABCD$ є трапеція $ABCD$ $BC||AD$. Бічна грань $SBC$, площа якої дорівнює $24,4см^2$, перпендикулярна до площини основи піраміди. Точка $M$ - середина ребра $SB$. Площина $MAD$ перетинає ребро $SC$ в точці $N$. Визначте довжину відрізка $MN$ (у см), якщо об’єм піраміди дорівнює $152 см^3$, а площа її основи - $57 см^2$.

Рішення: 
Рассмотрим рисунок


Докажем, что $MN$ - средняя линия треугольника $ΔSBC$.
Средняя линия треугольника  - отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия параллельна третей стороне и равна ее половине.
Точка M - середина стороны $BS$  по условию задачи, осталось доказать, чтобы $MN$ параллельна $BC$ $MN||BC$.
Доказательство: по условию задачи $AD||BC$ как стороны трапеции. Плоскость  $MADN$ проходит через сторону $AD$ трапеции, тогда согласно теоремы, если прямая, которая не принадлежит плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то эта прямая параллельна плоскости, отсюда следует, что сторона трапеции $BC$ параллельна плоскости $MADN$. Прямая $MN$ - пересечение плоскости $MADN$ и плоскости на которой лежит грань $SBC$, т.к. $BC$ параллельна плоскости $MADN$, то она будет параллельна прямой $MN$, т.е. отрезки $MN||BC$ параллельны,т.е $MN$ - средняя линия треугольника $ΔSBC$ и  $MN = \frac{1}{2}BC$.
Найдем сторону $BC$. Эля этого в условии дана площадь прямоугольного треугольника $ΔSBC$, которая равна $$S_{ΔSBC} = \frac{1}{2}SB*BC = 24.4 => BC = \frac{48.8}{SB} \quad (1)$$ $SB = H$  - высота трапеции, а в трапеции известен ее объем $$V = \frac{1}{3}S_{осн}H$$ где по условию $S_{осн} = 57см^2$, получаем $$\frac{1}{3}57*H = 152 => H = 8$$ подставляем результат в (1) $$BC = \frac{48.8}{H}  = \frac{48.8}{8} = 6.1$$ Мы уже получили, что средняя линия $$MN = \frac{1}{2}BC => NB = 3.05$$
Відповідь: $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline & &  & 3& , &0 &5 & \\ \hline \hline \end{array}$$

  попереднє завдання № 32     наступне завдання № 34