Завдання: Розв’яжіть систему рівнянь \begin{cases} \sqrt{y - 7x + 33} =x \\ 4x - y = 5\end{cases}
Якщо система має єдиний розв’язок x_0;y_0 то у відповіді запишіть добуток x_0y_0. Якщо система має два розв'язки x_1;y_1 та x_2;y_2, то у відповіді запишіть найбільший з добутків x_1*y_1 та x_2*y_2.
Рішення:
Решим систему уравнений \begin{cases} \sqrt{y - 7x + 33} =x \\ 4x - y = 5\end{cases}
возведем в квадрат обе части первого уравнения, при этом учтем, что функция корня всегда положительная и выражение под корнем, согласно ОДЗ, всегда положительное, т.е. из уравнения \sqrt{y - 7x + 33} =x => x \geq 0 \quad y - 7x + 33 \geq 0, получаем \begin{cases} \sqrt{y - 7x + 33} =x \\ 4x - y = 5 \\ x \geq 0 \\ y - 7x + 33 \geq 0\end{cases} => \begin{cases} (\sqrt{y - 7x + 33})^2 =(x)^2 \\ y = 4x - 5 \\ x \geq 0 \\ 4x - 5 - 7x + 33 \geq 0\end{cases} =>
\begin{cases} 4x- 5 - 7x + 33 =x^2 \\ y = 4x - 5 \\ x \geq 0 \\ \frac{28}{3} \geq x\end{cases} =>\begin{cases} x^2 + 3x -28 =0 \\ y = 4x - 5 \\ x \geq 0 \\ \frac{28}{3} \geq x\end{cases} =>
\begin{cases} x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4*28}}{2} \\ y = 4x - 5 \\ x \geq 0 \\ \frac{28}{3} \geq x\end{cases} =>\begin{cases} x_{1,2} = \frac{-3 \pm 11}{2} \\ y = 4x - 5 \\ x \geq 0 \\ \frac{28}{3} \geq x\end{cases} =>
\begin{cases} x_{1} = 4; \quad x_2 = -7 \\ y = 4x - 5 \\ x \geq 0 \\ \frac{28}{3} \geq x\end{cases} => \begin{cases} x_{1} = 4; \quad x_2 = -7 \\ y_1 =11;\quad y_2 =-33 \\ x \geq 0 \\ \frac{28}{3} \geq x\end{cases}
Получили, что решением системы уравнений будет пара, у которой 0 \leq x \leq \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3} к такой паре относится (4;11). В ответ запишем произведение x*y = 4*11 = 44
Відповідь: \begin{array}{|c|c|c|}\hline & & 4& 4& , & & & \\ \hline \hline \end{array}
Темы:
математика, зно, пробне зно з математики, пробне зно 2014, ,