Пробне ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 30.

Завдання: Розв’яжіть систему рівнянь $$ \begin{cases} \sqrt{y - 7x + 33} =x \\ 4x - y = 5\end{cases} $$ Якщо система має єдиний розв’язок \(x_0;y_0\) то у відповіді запишіть добуток \(x_0y_0\). Якщо система має два розв'язки \(x_1;y_1\) та \(x_2;y_2\), то у відповіді запишіть найбільший з добутків \(x_1*y_1\) та \(x_2*y_2\).
Рішення: 
Решим систему уравнений $$\begin{cases} \sqrt{y - 7x + 33} =x \\ 4x - y = 5\end{cases}$$ возведем в квадрат обе части первого уравнения, при этом учтем, что функция корня всегда положительная и выражение под корнем, согласно ОДЗ, всегда положительное, т.е. из уравнения \(\sqrt{y - 7x + 33} =x => x \geq 0 \quad  y - 7x + 33 \geq 0\), получаем $$\begin{cases} \sqrt{y - 7x + 33} =x \\ 4x - y = 5 \\ x \geq 0 \\ y - 7x + 33 \geq 0\end{cases} => \begin{cases} (\sqrt{y - 7x + 33})^2 =(x)^2 \\ y = 4x - 5 \\ x \geq 0 \\ 4x - 5 - 7x + 33 \geq 0\end{cases} => $$$$ \begin{cases} 4x- 5 - 7x + 33 =x^2 \\ y = 4x - 5 \\ x \geq 0 \\ \frac{28}{3} \geq x\end{cases} =>\begin{cases} x^2 + 3x -28 =0 \\ y = 4x - 5 \\ x \geq 0 \\ \frac{28}{3} \geq x\end{cases} =>$$$$ \begin{cases} x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4*28}}{2} \\ y = 4x - 5 \\ x \geq 0 \\ \frac{28}{3} \geq x\end{cases} =>\begin{cases} x_{1,2} = \frac{-3 \pm 11}{2} \\ y = 4x - 5 \\ x \geq 0 \\ \frac{28}{3} \geq x\end{cases} => $$$$ \begin{cases} x_{1} = 4; \quad x_2 = -7 \\ y = 4x - 5 \\ x \geq 0 \\ \frac{28}{3} \geq x\end{cases} => \begin{cases} x_{1} = 4; \quad x_2 = -7 \\ y_1 =11;\quad y_2 =-33 \\ x \geq 0 \\ \frac{28}{3} \geq x\end{cases}$$ Получили, что решением системы уравнений будет пара, у которой \(0 \leq x \leq \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}\) к такой паре относится \((4;11)\). В ответ запишем произведение \(x*y = 4*11 = 44\)

Відповідь: $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline & & 4& 4& , & & & \\ \hline \hline \end{array} $$

  попереднє завдання № 29     наступне завдання № 31