Методы решения систем линейных уравнений: метод Гаусса.

Рассмотрим применения метода Гаусса при решении системы линейных уравнений на следующем примере:
Решить систему линейных уравнений $$\begin{cases}
3x_1+2x_2+2x_3+2x_4=2\\
2x_1+3x_2+2x_3+5x_4=3\\
9x_1+x_2+4x_3-5x_4=1\\
2x_1+2x_2+3x_3+4x_4=5\\
7x_1+x_2+6x_3-x_4=7\end{cases}$$
1. Составим расширенную матрицу системы, которая состоит из матрицы системы \(A\) - столбцы коэффициентов при неизвестных + столбец коэффициентов свободных членов \(b\)
$$(A|b) = \left(\begin{array}{c}
3& 2 & 2 & 2\\
2 & 3 & 2 & 5\\
9 & 1 & 4 &-5\\
2 & 2 & 3 & 4\\
7 & 1 & 6 &-1
\end{array}\left|\begin{array}{c}
2\\
3\\
1\\
5\\
7 \end{array}\right.\right) =$$
2. Прямой ход. Приведем матрицу к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования над строками полученной матрицы \((A|b)\).  В качестве ведущего элемента лучше взять элемент первого столбца с коэффициентом 1 или можно получить его, например, вычтим из первой строки вторую, получим $$ =\left(\begin{array}{c} 1& -1 & 0 & -3\\  2 & 3 & 2 & 5\\  9 & 1 & 4 &-5\\ 2 & 2 & 3 & 4\\ 7 & 1 & 6 &-1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1\\  3\\ 1\\ 5\\ 7 \end{array}\right.\right) =$$ Получили ведущий элемент с единицей \(a_{11}=1\). Теперь все элементы первого столбика ниже ведущего нужно привестри к нулю при помощи элементарных преобразований строк. Для этого умножим все элементы первой строки на 2 и вычтим из второй $$ =\left(\begin{array}{c} 1& -1 & 0 & -3\\  0 & 5 & 2 & 11\\  9 & 1 & 4 &-5\\ 2 & 2 & 3 & 4\\ 7 & 1 & 6 &-1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1\\  5\\ 1\\ 5\\ 7 \end{array}\right.\right) =$$Далее из третьей вычтим первую, умноженную на 9, из четвертой вычтим первую, умноженную на 2, из пятой, умноженную на 7, получим $$ =\left(\begin{array}{c} 1& -1 & 0 & -3\\  0 & 5 & 2 & 11\\  0 & 10 & 4 &22\\ 0 & 4 & 3 & 10\\ 0 & 8 & 6 & 20 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1\\  5\\ 10\\ 7\\ 14 \end{array}\right.\right)=$$Все эелементы 3-й и 5-й строк кратны 2, разделим эти строки на 2, получим $$=\left(\begin{array}{c} 1& -1 & 0 & -3\\  0 & 5 & 2 & 11\\  0 & 5 & 2 & 11\\ 0 & 4 & 3 & 10\\ 0 & 4 & 3 & 10 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1\\  5\\ 5\\ 7\\ 7 \end{array}\right.\right)=$$Получили две строки 2 и 3 с равными элементами. Вычтем из третьей строки вторую, получим строку с нулями и поменяем ее местами с последней стракой, аналогичные действия проведем с двумя одинаковыми строками 4 и 5 $$=\left(\begin{array}{c} 1& -1 & 0 & -3\\  0 & 5 & 2 & 11\\  0 & 8 & 6 & -20\\ 0 & 4 & 3 & 10\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1\\  5\\ 14\\ 7\\ 0 \end{array}\right.\right)=$$ Даллее проводим теже действия для второго столбца. Выбираем ведущий элемент и приаодим его к единице \(a_{22}=1 \ne 0\) для этого вычтем из второй строки четвертую $$=\left(\begin{array}{c} 1& -1 & 0 & -3\\  0 & 1 & -1 & 1\\  0 & 4 & 3 & 10\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1\\  -2\\ 7\\ 0\\ 0 \end{array}\right.\right)=$$а далее по известной методике все элементы во втором столбце ниже ведущего элемента приводим к 0. В третьей строке элемент \(a_{32} =4\) можно привести к 0 путем вычетания второй строки, умноженной на 4$$=\left(\begin{array}{c} 1& -1 & 0 & -3\\  0 & 1 & -1 & 1\\  0 & 0 & 7 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1\\  -2\\ 15\\ 0\\ 0 \end{array}\right.\right)=$$
3. Обратный ход.

Сори. Блог закончу в ближайшее время!