ЗНО 2013 року з математики (2 сесія). Завдання № 30.

Завдання: Обисліть площу фігури, обмеженої графіком функції $y = \frac{22}{3} - (x+1)^2$ і прямими $у = \frac{x}{3}$, $х = -1$ та $x = 1$.

Рішення:  для решения задачи необходимо построить графики функции и понять площадь какой фигуры будем искать. Смотрим рисунок.

Из рисунка видно, что площадь, ограниченная кривыми, заданными в условии задания - фигура $FBCD$. Площадь данной фигуры находится как разность площадей фигур $ABCE$ - фигура ограниченная графиком $y = \frac{22}{3} - (x+1)^2$, прямыми $х = -1$ и $x = 1$ и осью $Ox$ и фигуры $ODE$ - фигура ограниченная графиком  $у = \frac{x}{3}$, прямой $x = 1$ и осью $Ox$ плюс площадь фигуры $AOF$ - фигура ограниченная графиком  $у = \frac{x}{3}$, прямой $x = -1$ и осью $Ox$ . Из рисунка видно, что две фигуры $AOF$ и $ODE$ - прямоугольные треугольники, которые равны (равны стороны $AO = OD = 1$, углы $\angle AOF = \angle DOE$ и прямые углы $\angle A = \angle E$), площади этих прямоугольных треугольников равны. Т.е. получаем, что площадь $S_{FBCD} = S_{ABCE}$ и равна определенному интегралу $\int_{-1}^{1}( \frac{22}{3} - (x+1)^2)dx$

$$S_{FBCD} = S_{ABCE} = \int_{-1}^{1}( \frac{22}{3} - (x+1)^2)dx =$$ $$= \frac{22}{3}x - \frac{(x+1)^3}{3}|_{-1}^1 =$$ Подставляем в полученное выражение значения верхней и нижней границы $$= \frac{22}{3}*1 - \frac{(1+1)^3}{3} - (\frac{22}{3}(-1) - \frac{(-1+1)^3}{3}) =$$ $$= \frac{22}{3} - \frac{8}{3} + \frac{22}{3}  = 12 =>$$ $$S_{FBCD} = 12$$

Відповідь: 12 

  попереднє завдання № 29     наступне завдання № 31