Завдання: У прямокутний трикутник АВС вписано коло, яке дотикається катетів АС та ВС у точках K і М відповідно. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника АВС (у см), якщо АК = 4,5 см, МВ = 6 см.
Рішення: Рассмотрим рисунок и определимся с радиусом описанной окружности. Вспомним свойство прямоугольного треугольника: середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около треугольника окружности, т.е. для решения задачи нужно найти гипотенузу треугольника. Рассмотрим ΔABC и вписанную окружность. BM = MN, AN = AK как отрезки касательных угла к окружности, вписанной в этот угол. Докажем это: если соединить точки B и O, то получим два равных прямоугольных треугольника ΔNBO и ΔBOM. Из равенства прямоугольных треугольников (равны катеты NO = MO и общая гипотенуза BO) следует равенство сторон BM = MN, аналогично доказывается равенство AN = AK из равенства прямоугольных треугольников ΔAON и ΔAOK. Теперь можно найти гипотенузу AB = AN + NB = AK + BM = 4,5 + 6 = 10,5
Відповідь: 5,25
