Завдання: У прямокутній системі координат на площині дано вектори a (3; 4) і b (-2; 2). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
\begin{array}{|l|c|} \hline \\ Початок\quad речення & Закінчення\quad речення \\ \hline \\ 1.\quad Довжина\quad вектора\quad \vec{a} & А \quad дорівнює\quad 7 \\ \hline \\ 2.\quad Сумою\quad векторів\quad \vec{a}\quad і\quad \vec{c} (-3; k)\quad є\\ \quad нульовий\quad вектор,\quad якщо\quad k & Б \quad дорівнює\quad 2 \\ \hline \\ 3.\quad Вектори\quad \vec{b}\quad і\quad \vec{d}\quad (-4; m)\quad колінеарні,\quad якщо\quad m & В \quad дорівнює\quad-4 \\ \hline \\ 4.\quad Скалярний\quad добуток\quad векторів\quad \vec{a}\quad і\quad \vec{b} & Г \quad дорівнює\quad 5 \\ \hline \\ & Д \quad дорівнює\quad 4 \\ \hline \end{array}
Рішення:
1. Довжина вектора \(\vec{a}\) ...
Длина вектора находится по формуле \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\). Подставляем координаты вектора \(\vec{a}\) в формулу, получаем $$\vec{a} = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$$
Відповідь: 1 -> Г, Довжина вектора \(\vec{a}\) дорівнює 5
2. Сумою векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{c}\) (-3; k) є нульовий вектор, якщо k ...
Нулевой вектор (нуль-вектор) — вектор, начало которого совпадает с его концом. Нулевой вектор имеет длину 0 и обозначается \(\vec{0}\) . Найдем сумму векторов, которая должна быть равна нулевому вектору, т.е. вектору с координатами \(\vec{0}(0;0)\), получаем \(\vec{a}+\vec{c} = \vec{0}(3+(-3); 4+k)\) =>\( 4 + k = 0=> k = -4\)
Відповідь: 2 -> В, Сумою векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{c}\) (-3; k) є нульовий вектор, якщо k дорівнює -4
3. Вектори \(b\) і \(d\) \((-4; m)\) колінеарні, якщо \(m\)
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Одним из условий коллинеарности векторов является: два вектора коллинеарные, если отношения их координат равны, т.е. условие коллинеарности можно записать так $$\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}$$т.е. отношение соответствующих координат равны. У нас есть два вектора \(b (-2; 2)\) и \(d(-4;m)\) запишем условие коллинеарности для них $$\frac{-2}{-4} = \frac{2}{m} =>m = 4$$
Відповідь: 3 -> Д, Вектори \(b\) і \(d\) \((-4; m)\) колінеарні, якщо \(m\) дорівнює 4
4. Скалярний добуток векторів \(a\) і \(b\)
Если векторы \(a=(x_1,y_1)\) и \(b=(x_2,y_2)\) заданы на плоскости, то верна следующая формула для скалярного произведения двух векторов: $$(\vec{a},\vec{b}) = x_1*x_2+y_1*y_2$$Подставил координаты векторов в формулу скалярного произведения $$(\vec{a},\vec{b}) = 3*(-2) + 4*2 = 2$$
Відповідь: 4 -> Б, Скалярний добуток векторів \(a\) і \(b\) дорівнює 2
