Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

ЗНО 2013 року з математики (1 сесія). Завдання № 32.

Завдання: Основою піраміди \(SABCD\)  є трапеція \(ABCD\)   \((AD∥BC)\),  довжина середньої лінії якої дорівнює 5 см. Бічне ребро \(SB\)  перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції \(ABCD\).

Знайдіть відстань від середини ребра \(SD\)  до площини \(SBC\)  (у см), якщо об'єм піраміди дорівнює \(240 см^3\).


Рішення: рассмотрим рисунок


ЗНО 2013 року з математики (1 сесія). Завдання № 32.


Расстояние от точки до плоскости равно перпендикуляру, опущенному из точки на плоскость. Проведем плоскость через т. \(M\) перпендикулярно плоскости \(SBC\) и прямой \(BC\), лежащей в этой плоскости. Найдем длину перпендикуляра из т. \(M\)  - \(ML\) на плоскость \(SBC\). Проведем плоскость \(SBD\) и рассмотрим сечение \(ΔSBD\).  Рассмотрим четырехугольник \(OMLN\), полученный пересечением этих плоскостей - прямоугольник (по условию пирамида прямоугольная). Т.е. \(ML = ON\). \(MO\) - средняя линия \(ΔSBD\). Опустим перпендикуляр \(DP\) из вершины \(D\) на сторону \(BC\). Рассмотрим треугольник \(ΔBDP\). \(ON\) - средняя линия прямоугольного треугольника \(ΔBDP\), где \(DP\) - высота трапеции, т.е. \(ON = \frac{DP}{2}\).


Для решении задачи необходимо найти высоту трапеции. Найдем ее используя известный объем трапеции и формулу объема $$V_{пир} = \frac{1}{3}S_{осн.}*H_{пир} = \frac{1}{3} \frac{a+b}{2}*h_{тр.}*H_{пир} $$Из условия известна длина средней линии трапеции, которая равна \(\frac{a+b}{2} = 5\) и высота пирамиды \(H_{пир} = 2*5 = 10\). Подставим полученные значения в формулу и найдем высоту трапеции $$V_{пир} = \frac{1}{3}*\frac{a+b}{2}*h_{тр.}*H_{пир} = \frac{1}{3}*5*h_{тр.}*10 = 240 => h_{тр.} = \frac{72}{5}$$Найдем искомое расстояние от точки до плоскости $$ML = ON = \frac{1}{2} h_{тр} = \frac{1}{2}*\frac{72}{5} = \frac{36}{5} = 7,2$$


Відповідь: 7,2


 

 попереднє завдання № 31     наступне завдання № 33

Captcha Challenge
Reload Image
Type in the verification code above