ЗНО 2013 року з математики (1 сесія). Завдання № 32.

Завдання: Основою піраміди $SABCD$  є трапеція $ABCD$   $(AD∥BC)$,  довжина середньої лінії якої дорівнює 5 см. Бічне ребро $SB$  перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції $ABCD$.

Знайдіть відстань від середини ребра $SD$  до площини $SBC$  (у см), якщо об'єм піраміди дорівнює $240 см^3$.

Рішення: рассмотрим рисунок

Расстояние от точки до плоскости равно перпендикуляру, опущенному из точки на плоскость. Проведем плоскость через т. $M$ перпендикулярно плоскости $SBC$ и прямой $BC$, лежащей в этой плоскости. Найдем длину перпендикуляра из т. $M$  - $ML$ на плоскость $SBC$. Проведем плоскость $SBD$ и рассмотрим сечение $ΔSBD$.  Рассмотрим четырехугольник $OMLN$, полученный пересечением этих плоскостей - прямоугольник (по условию пирамида прямоугольная). Т.е. $ML = ON$. $MO$ - средняя линия $ΔSBD$. Опустим перпендикуляр $DP$ из вершины $D$ на сторону $BC$. Рассмотрим треугольник $ΔBDP$. $ON$ - средняя линия прямоугольного треугольника $ΔBDP$, где $DP$ - высота трапеции, т.е. $ON = \frac{DP}{2}$.

Для решении задачи необходимо найти высоту трапеции. Найдем ее используя известный объем трапеции и формулу объема

$$V_{пир} = \frac{1}{3}S_{осн.}*H_{пир} = \frac{1}{3} \frac{a+b}{2}*h_{тр.}*H_{пир}$$ Из условия известна длина средней линии трапеции, которая равна $\frac{a+b}{2} = 5$ и высота пирамиды $H_{пир} = 2*5 = 10$. Подставим полученные значения в формулу и найдем высоту трапеции $$V_{пир} = \frac{1}{3}*\frac{a+b}{2}*h_{тр.}*H_{пир} = \frac{1}{3}*5*h_{тр.}*10 = 240 => h_{тр.} = \frac{72}{5}$$ Найдем искомое расстояние от точки до плоскости $$ML = ON = \frac{1}{2} h_{тр} = \frac{1}{2}*\frac{72}{5} = \frac{36}{5} = 7,2$$

Відповідь: 7,2

 

 попереднє завдання № 31     наступне завдання № 33