Завдання: Установіть відповідність між твердженням (1-4) та функцією (А-Д), для якої це твердження є правильним.
\begin{array}{|l|c|} \hline \\ Твердження & Функція \\ \hline \\ 1.\quad графік\quad функції\quad не\quad перетинає \quad жодну\quad з\quad осей\quad координат & А \quad y = -x+2 \\ \hline \\ 2.\quad областю\quad значень\quad функції\quad є\quad проміжок\quad (0; +\infty) & Б \quad y = x^2-2 \\ \hline \\ 3.\quad функція\quad спадає\quad на\quad всій\quad області\quad визначення & В \quad y = -\frac{1}{x} \\ \hline \\ 4.\quad на\quad відрізку\quad [-1,5;1,5] \quad функція\quad має\quad два\quad нулі & Г \quad y = 3^x \\ \hline \\ & Д \quad y = \cos x \\ \hline \end{array}
Рішення:
1. графік функції не перетинає жодну з осей координат
Точки пересечения с осью x это точки у которых y = 0 и наоборот, точки пересечения с осью y это точки у которых x = 0. Нам необходимо найти функцию, которая не пересекает оси, подставляем в функцию x =0 и ищем функцию у которой y не существует, подставляем в функцию y =0 и ищем функцию у которой x, не существует. Из приведенных функций только функция y = -\frac{1}{x} => D_f = x \ne 0 => x = -\frac{1}{y} =>E_f = y \ne 0 не имеет точек пересечения с осями
Відповідь: 1 -> В \quad y = -\frac{1}{x}
2. областю значень функції є проміжок 0; +\infty
Область значений показательной функции: E (y)=R+ - множество всех положительных чисел.
Відповідь: 2 -> Г \quad y = 3^x
3. функція спадає на всій області визначення
Функция называется убывающей если большему x - соответствует меньший y. Из оставшихся функций такой является y = -x+2. Например: f(0) = 2, f(2) = 0
Відповідь: 3 -> А \quad y = -x+2
4. на відрізку [-1,5;1,5] функція має два нулі
Нужна функция у которой на заданном отрезке есть две точки пересечения с осью Ox, т.е. при y =0. Это может быть либо степенная функция y = x^2-2. Проверим это. Найдем корни квадратного уравнения x^2 - 2 = 0 => x = \pm \sqrt{2} \approx \pm 1,414. Функция удовлетворяет заданию.
Проверим, на всякий случай, и тригонометрическую функцию y = \cos x = 0 => x = \pm \pi n, n \in Z. Проверяем, при n=1, x = \pi \approx 3,14 - в интервал не попал, т.е. функция не подходит.
Відповідь: 4 -> Б \quad y = x^2 - 2
