Завдання: Знайдіть найменший додатний період функції \(f(x) = 9 – 6\cos(20\pi x + 7)\)
Рішення: для решения задачи вспомним функцию \(\cos(x)\) - это периодическая функция с периодом \(2\pi\). Рассмотрим функцию \(\cos(ax+b)\). Коэффициент \(a\) влияет на сжатие и растяжение графика функции вдоль ост \(x\) (при \(x < 1\) график растягивается, т.е. период растет, а при \(x > 1\) - график сжимается, т.е. период уменьшается). Коэффициент \(b\) влияет на сдвиг графика функции вдоль оси \(x\), сдвиг влево если \(b > 0\), сдвиг вправо если \(b < 0\). Таким образом для нахождения наименьшего положительного периода будем приравнивать \(20\pi x\) и период \(2\pi*n\)$$20\pi x = 2\pi*n$$где \(n\) - целое число \(n \in Z\). Т.к. мы ищем наименьший положительный период, то выбираем \(n = 1\), тогда получаем $$20\pi x = 2\pi => 10 x =1 => x = 0,1$$это и будет наименьший период. Это решение можно проверить путем подстановки чисел 0,1 и следующего через период 0,2 при этом ответ должен совпасть. Проверяем \( f(0,1) = 9 – 6\cos(20\pi *0,1 + 7) = 9 – 6\cos(2\pi + 7) =9 – 6\cos(7) \) теперь проверяем для второго числа \( f(0,2) = 9 – 6\cos(20 \pi *0,2 + 7) = 9 – 6\cos(4\pi + 7) =9 – 6\cos(7)\) получили \(f(0,1) = f(0,2)\), т.е. наше решение верно.
Відповідь: 0,1
Рассмотрим другие варианты этой задачи:
2. Завдання: Знайдіть найменший додатний період функції \(f(x) = 9 – 6\cos(10\pi x + 7)\)
Рішення: $$10\pi x = 2\pi => 5 x =1 => x = 0,2$$
Відповідь: 0,2
3. Завдання: Знайдіть найменший додатний період функції \(f(x) = 9 – 6\cos(40\pi x + 7)\)
Рішення: $$40\pi x = 2\pi => 20 x =1 => x = 0,05$$
Відповідь: 0,05
