ЗНО 2013 року з математики (1 сесія). Завдання № 28.

Завдання: Знайдіть найменший додатний період функції $f(x) = 9 – 6\cos(20\pi x + 7)$

Рішення: для решения задачи вспомним функцию $\cos(x)$ - это периодическая функция с периодом $2\pi$. Рассмотрим функцию $\cos(ax+b)$. Коэффициент $a$ влияет на сжатие и растяжение графика функции вдоль ост $x$ (при $x < 1$ график растягивается, т.е. период растет, а при $x > 1$ - график сжимается, т.е. период уменьшается). Коэффициент $b$ влияет на сдвиг графика функции вдоль оси $x$, сдвиг влево если $b > 0$, сдвиг вправо если $b < 0$. Таким образом для нахождения наименьшего положительного периода будем приравнивать $20\pi x$ и период $2\pi*n$ $$20\pi x = 2\pi*n$$ где $n$ - целое число $n \in Z$. Т.к. мы ищем наименьший положительный период, то выбираем $n = 1$, тогда получаем $$20\pi x = 2\pi => 10 x =1 => x = 0,1$$ это и будет наименьший период. Это решение можно проверить путем подстановки чисел 0,1 и следующего через период 0,2 при этом ответ должен совпасть. Проверяем $f(0,1) = 9 – 6\cos(20\pi *0,1 + 7) =  9 – 6\cos(2\pi + 7) =9 – 6\cos(7)$ теперь проверяем для второго числа $f(0,2) = 9 – 6\cos(20 \pi *0,2 + 7) =  9 – 6\cos(4\pi + 7) =9 – 6\cos(7)$ получили $f(0,1) = f(0,2)$, т.е. наше решение верно.

Відповідь:  0,1

Рассмотрим другие варианты этой задачи:

2. Завдання: Знайдіть найменший додатний період функції $f(x) = 9 – 6\cos(10\pi x + 7)$

 Рішення: $$10\pi x = 2\pi => 5 x =1 => x = 0,2$$

Відповідь:  0,2

3. Завдання: Знайдіть найменший додатний період функції $f(x) = 9 – 6\cos(40\pi x + 7)$

 Рішення: $$40\pi x = 2\pi => 20 x =1 => x = 0,05$$

Відповідь:  0,05

 попереднє завдання № 27     наступне завдання № 29