Некоторые приемы решения тригонометрических уравнений. Часть №1.

Часто при решении тригонометрических уравнений левую часть уравнения можно представить в виде произведения различных тригонометрических функций.
Рассмотрим на примере.

Пример 1.Решить уравнение $$\sin x +\sin 2x + \sin 3x - \cos x - \cos 2x -1 =0$$
Решение: Данный вид уравнений решаются путем разложения левой части на множители $$(\sin x +\sin 3x) + \sin 2x - \cos x - (\cos 2x +1) =0$$применим формулы суммы синусов,  косинус двойного угла и синуса двойного угла $$2\sin 2x*\cos x + 2\sin x*\cos x - \cos x - (2\cos^2 x -1 +1) =0$$$$2\sin 2x*\cos x + 2\sin x*\cos x - \cos x - 2\cos^2 x =0$$$$\cos x(2\sin 2x + 2\sin x - 1 - 2\cos x) =0$$Найдем значения \(x\), при которых произведение равно 0, для этого составим совокупность уравнений$$\left[ \begin{gathered} \cos x = 0 \\ 2\sin 2x + 2\sin x - 1 - 2\cos x = 0 \end{gathered} \right. => \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z \\ 4\sin x*\cos x +2\sin x - 1 - 2\cos x =0 \end{gathered} \right. => $$$$\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z\\ 2\sin x*(2\cos x + 1) - (1 + 2\cos x) =0 \end{gathered} \right. => \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z\\ (2\sin x -1)*(2\cos x + 1) =0 \end{gathered} \right. =>$$$$\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z\\ 2\sin x -1 =0 \\ 2\cos x + 1 =0 \end{gathered} \right. =>\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z\\ \sin x = \frac{1}{2} \\ \cos x =-\frac{1}{2} \end{gathered} \right. =>$$$$\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z \\ x = (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,  n \in \mathbb Z \\ x = \pm \frac{2}{3}\pi +\pi n, n \in \mathbb Z \end{gathered} \right.$$

Пример 2. Решить уравнение $$\cos^2x +\cos^22x+\cos^23x+\cos^24x=2$$
Решение: Преобразуем левую часть, для этого воспользуемся формулой косинуса двойного угла :$$\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}=2 =>$$$$1+\cos 2x+1+\cos 4x+1+\cos 6x+1+\cos 8x=4 =>$$$$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x=0 =>$$Воспользуемся формулой суммы косинусов$$\cos 3x*\cos x+\cos 7x*\cos x=0 =>$$$$\cos x(\cos 3x+\cos 7x)=0 =>\cos x*\cos 5x*\cos 2x=0 =>$$$$\left[ \begin{gathered} \cos x =0\\ \cos 2x=0 \\ \cos 5x=0 \end{gathered} \right. =>\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z\\ 2x = \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z \\ 5x = \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z \end{gathered} \right. =>\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z\\ x = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb Z \\ x = \frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb Z \end{gathered} \right. =>$$Первое решение в совокупности уравнений содержится в последнем (x содержится в 5x). Проверяем $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n=\frac{5\pi}{10}+\frac{\pi}{5}*5n=\frac{5\pi}{10}+\frac{\pi}{5}*5n=\frac{\pi}{10}+\frac{4\pi}{10}+\frac{\pi}{5}*5n=$$$$=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi}{5}+\frac{\pi}{5}*5n=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{5}(5n+2)=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{5}p, p \in \mathbb Z$$Ответ: \(x = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb Z \\ x = \frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb Z \)

Примет 3. Решить уравнение $$\frac{1-\cos 2x}{2\sin x}-\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=0$$
Решение: Установим ОДЗ для неизвестного. Исключению подлежат те значения \(x\), которые удовлетворяют одному из условий:$$\left[ \begin{gathered} \sin x \ne 0, \\ 1+\cos 2x \ne 0 \end{gathered} \right. => \left[ \begin{gathered} x \ne \pi n,  n \in \mathbb Z \\ 2x \ne -\pi + 2\pi n,  n \in \mathbb Z \end{gathered} \right. => \left[ \begin{gathered} x \ne \pi n,  n \in \mathbb Z \\ x=-\frac{\pi}{2} + \pi n,  n \in \mathbb Z \end{gathered} \right. $$Получили, что в ОДЗ не взодят углы \(0, \frac{\pi}{2}, \pi , \frac{2\pi}{2}, 2\pi ... \) Окончательное, ОДЗ состоит из всех вещественных \(x\), при кроме \(x \ne \frac{\pi}{2}p, p \in \mathbb Z\).

Приступим к решению $$\frac{1-\cos 2x}{2\sin x}-\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=0 =>$$приведем к общему знаменателю $$\frac{(1-\cos 2x)(1+\cos 2x)-2\sin x*\sin 2x}{2\sin x*(1+\cos 2x)}=0 =>$$Применим формулы сокращенного умножения многочленов, а именно формулу разности квадратов , формулу синуса двойного угла и формулу косинуса двойного угла $$\frac{1-\cos^2 2x-2\sin x*\sin 2x}{2\sin x*(1+\cos 2x)}=0 => \frac{\sin^2 2x-2\sin x*\sin 2x}{2\sin x*(1+2\cos^2x-1)}=0 =>$$$$\frac{4\sin^2x*\cos^2x-4\sin x*\sin x*\cos x}{4\sin x*\cos^2x)}=0 => $$$$\frac{\sin x*\cos x-\sin x}{\cos x)}=0 =>\sin x*\cos x-\sin x =0 =>\sin x*(\cos x- 1) =0 =>$$с учетом ОДЗ $$\cos x- 1 =0 =>\cos x =2 => x= \frac{\pi}{2}+\pi n$$согласно ОДЗ это решение не подходит,т.е. уравнение не имеет решений.

Пример 4. Решить уравнение $$\mathrm{tgx}+\mathrm{tg2x}-\mathrm{tg3x}=0$$
Решение: Поскольку уравнение содержит тангенсы, то установим ОДЗ для неизвестного.$$\left[ \begin{gathered}  x \ne \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z\\ 2x \ne \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z \\ 3x \ne \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z \end{gathered} \right.=>\left[ \begin{gathered} x \ne \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z\\ x \ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb Z \\ x \ne \frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb Z \end{gathered} \right.$$т.к. ограничение при \(3x\) включает ограничение \(x\), то окончательно ограничение будет иметь вид $$\left[ \begin{gathered}  x \ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb Z \\ x \ne \frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb Z \end{gathered} \right.$$Приступим к решению, преобразуем левую часть уравнения $$\mathrm{tgx}+\mathrm{tg2x}-\mathrm{tg3x}=0 =>$$воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов $$\mathrm{tgx}+\mathrm{tg2x}-\frac{\mathrm{tgx}+\mathrm{tg2x}}{1-\mathrm{tgx}\mathrm{tg2x}} = 0 =>$$$$\frac{(\mathrm{tgx}+\mathrm{tg2x})(1-\mathrm{tgx}\mathrm{tg2x})-(\mathrm{tgx}+\mathrm{tg2x})}{1-\mathrm{tgx}\mathrm{tg2x}} = 0 =>$$$$\frac{(\mathrm{tgx}+\mathrm{tg2x})(1-\mathrm{tgx}\mathrm{tg2x}-1)}{1-\mathrm{tgx}\mathrm{tg2x}} = 0 =>$$$$\frac{(\mathrm{tgx}+\mathrm{tg2x})(-\mathrm{tgx}\mathrm{tg2x})}{1-\mathrm{tgx}\mathrm{tg2x}} = 0 =>$$$$-\mathrm{tgx}*\mathrm{tg2x}*\mathrm{tg3x}=0$$откуда получаем $$\left[ \begin{gathered} \mathrm{tgx}=0 \\ \mathrm{tg2x}=0 \\ \mathrm{tg3x}=0 \end{gathered} \right.=>\left[ \begin{gathered} x = \pi n, n \in \mathbb Z\\ x = \frac{\pi}{2}n, n \in \mathbb Z \\ x = \frac{\pi}{3}n, n \in \mathbb Z \end{gathered} \right. $$Нетрудно убедиться, что третий вид решения включает первый. Учитывая ОДЗ, находим, что при нечетном \(n\) \(x\) попадает под ограничение ОДЗ, если во втором виде решения \(n\) принимает только четное значения, тогда второй вид решения совпадает с первым. Вывод \(x=\frac{\pi}{3}n, n \in \mathbb Z\).