Рассмотрим решение одного из видов задач по нахождению уравнения кривой, которая удовлетворяет определенным требованиям. Задача может также звучать так "Составить уравнение линии".
Рассмотрим на примере следующей задачи: "Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до точек А(0;1/2) В(0;-1/2) равна 2".
В задаче говориться о некотором расстоянии до точки A и B. Обозначим координаты неизвестной точки как С(x,y). В декартовой системе координат расстояние между точками рассчитывается по формуле \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).Тогда расстояние между точками A и C \(AC^2=(x-0)^2+(y-\frac{1}{2})^2 \) . Тоже можно написать и для \(ВС^2=(x-0)^2+(y+\frac{1}{2})^2\). Из условия задачи также известно, что \(AC^2+BC^2=2\). Подставим значения длин \(AC,BC\)$$x^2+(y-\frac{1}{2})^2+x^2+(y+\frac{1}{2})^2=2 => 2x^2+y^2-y+\frac{1}{4}+y^2+y+\frac{1}{4}=2 =>$$$$2x^2+2y^2+\frac{1}{2}=2 => x^2+y^2+\frac{1}{4}=1 =>x^2+y^2=\frac{3}{4}$$ Получили уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом \(r=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt 3}{2}\)
Составить уравнение геометрического места точек.
Последние посетители
