1. Лінійна модель витрат. Точка беззбитковості.
При виробництві x одиниць будь-якої продукції загальні витрати \(C(x)\) складаються із постійних (фіксованих) витрат \(F\); змінних витрат \(V\), тобто маємо: $$ C=F+V$$
Постійні витрати \(F\) − це витрати, що не залежать від числа одиниць виробленої продукції. Вони містять у собі амортизацію, оренду приміщення, відсотки по позиках і т.п.
Змінні витрати \(V\) − це витрати, що прямо залежать від кількості виробленої продукції. Вони містять у собі вартість сировини, робочої сили й т.п.
У найпростішому випадку змінні витрати прямо пропорційні \(X\) − кількості виробленої продукції. Коефіцієнт пропорційності \(А\) − це змінні витрати по виробництву однієї одиниці продукції \(V=ax \).
Якщо позначити через \(b\) фіксовані витрати, то вийде рівняння, що називають лінійною моделлю витрат: $$C(x)=b+ax$$ Сукупний дохід \(R(x)\) , одержуваний підприємством від продажу xодиниць продукції, визначається формулою: $$R(x) = px$$ де \(p\) ─ ціна одиниці товару.
Якщо вироблено й продано x одиниць продукції, то прибуток \(P(x)\) визначається формулою: $$P(x) = R(x) -C(x) $$ Точка, в якій прибуток перетворюється в нуль, називається крапкою беззбитковості.
Приклад 1.Відомо, що фіксовані витрати виробництва становлять 10 тис. грн. на місяць, змінні витрати 30 грн. на одиницю продукції, виторг 50 грн. за одиницю продукції. Потрібно скласти функцію прибутку й побудувати її графік.
Розв’язування. За умовою задачі постійні витрати F =10 000. Оскільки змінні витрати по виробництву однієї одиниці продукції становлять 30 грн. (a = 30), то змінні витрати, що залежать від кількості виробленої продукції, \(V = 30 x\)
де \(x\) ̶ кількість виробленої продукції.
Таким чином, загальні витрати становлять $$C(x) =10000 + 30x $$
Сукупний дохід, від продажу x одиниць продукції, визначається таким чином $$R(x) = 50 x$$
Побудуємо графіки функцій доходу й витрат:
Рис. 1
Точку перетину прямих \(C(x) =10000 + 30x\) та \(R(x) = 50 x \) знайдемо таким чином: \(C(x) = R(x)\) , тоді \(10000+30x = 50x\) отже, \(x = 500, C(x) = R(x) = 25000\)
Прибуток, якій одержує підприємство, можна знайти за формулі $$ P(x)= R(x) -C(x) $$ Тому $$ P(x) = 50 x - (10000 + 30 x) = 20 x -10000 => P(x) = 20 x -10000 $$
Побудуємо графік функції прибутку. При x = 500 маємо P(x) = 0.
Отже, координати першої точки (500;0). При x = 600 маємо P(x) = 2000; отримали другу точку (600; 2000). Через дві точки на площині проведемо пряму, яка є графіком функції P(x):
Рис. 2
Як видно із графіка, при значеннях x менше 500 прибуток від’ємний (графік P(x) розташований нижче осі Ox), тобто виробництво збиткове. При збільшенні x прибуток зростає, у точці з абсцисою x = 500 він дорівнює нулю (точка беззбитковості) і після цього стає додатнім (див. рис. 2).
Задача 1. Взуттєва фабрика продає туфлі за ціною 350+3*m+2*n грн. за пару. Витрати становлять \(63000+100*m\) грн. за \(100+n\) пар туфель та \(60750+100*m\) тис. грн. за \(85+n\) пар, де m= 2 , n = 20
Завдання
1) Знайти рівняння прямої витрат \(C(x) = b + ax \),(яке в більш звичному вигляді можна переписати так у = b + ax), за двома точками y-y2 / y1-y2=x-x2 / x1-x2 (1)
2) Знайти рівняння прямої доходу R(x) = px.
3) Побудувати лінії C(x), R(x) та знайти точку їх перетину М0 .
4) Скласти рівняння функції прибутку P(x) = R(x) -C(x) .
5) Побудувати рівняння функції прибутку P(x) та знайти точку беззбитковості М1.
6) Як між собою пов’язані абсциси точок М0, М1?
7) Скільки пар туфель фабрика повинна зробити й продати, щоб
одержати 10% доходу на гроші, вкладені у постійні витрати?
Завдання 1, 2, 4, 6, 7 виконувати беззастосування комп’ютера.
Завдання 3, 5 виконувати на комп’ютері.
2. Закони попиту та пропозиції.
Кількість товару, що покупці придбають на ринку, залежить від ціни на цей товар. Співвідношення між ціною й кількістю купленого товару називається функцією або законом попиту.
Кількість товару, що виробники виставлять на продаж, також залежить від ціни на цей товар. Співвідношення між ціною й кількістю товару, виставленого на продаж, називається функцією або законом пропозиції.
У найпростішому випадку ці функції є лінійними (рис. 3).
Рис. 3.
Закон попиту позначений через \(D\), закон пропозиції – через \(S\) ;
\(x\) – кількість товару, \(p\) – ціна на цей товар.
Рівняння попиту можна скласти, якщо задані дві точки, що лежать на його графіку. Для цього потрібно використати рівняння прямої,що проходить через дві задані точки.
Точка перетинання кривих попиту та пропозиції \(x_0\), \(p_0\) називається точкою ринкової рівноваги.
Відповідно,
\(p_0\) - називається рівноважної ціною,
\(x_0\) – рівноважною кількістю (рівноважним обсягом продажів).
Буває, що уряд вводить податок tна товар або надає субсидію s, щоб населення могло придбати товар по розумній ціні.
При використанні лінійних моделей передбачається, що попит визначається тільки ціною товару на ринку pc , а пропозиція ̶ тільки ціною ps, яку отримують постачальники. Ці ціни пов'язані між собою наступною системою рівнянь : $$ pc=ps+t \quad pc = ps-s$$ де \(t\) й \(s\) ̶ відповідно податок та субсидія на одиницю товару.
Таким чином, при введенні податку або субсидії рівняння попиту D не зміниться. Графік функції пропозиції підніметься на tодиниць вгору (лінія S¢) або опуститься на sодиниць униз (лінія S¢¢) (див. рис. 3).
Деякі податки, наприклад ПДВ (податок на додану вартість), пропорційні ціні. У цьому випадку точка перетину графіка пропозиції S з віссю Oxзалишається тією ж, але міняється кут нахилу графіка до осі Ox .
Задача 2.(д.з.) Закони попиту та пропозиції на деякий товар визначаються рівняннями p=-2x+12+m+n та p=x+3+m+n відповідно, де m =2 , n =20
Завдання.
1) Знайти точку ринкової рівноваги.
2) Знайти точку рівноваги після введення податку, рівного 3 грн. на одиницю
продукції.
а) Знайти збільшення ціни й зменшення рівноважного обсягу продажів.
б) Знайти дохід держави після введення цього податку.
3) Яка субсидія призведе до збільшення обсягу продажів на 2 одиниці?
Завдання 1, 2, 3 можна виконувати за допомогою комп’ютера.
Задача 3. Лінія другого порядку задана рівнянням:
\(х^2+у^2+4х+4=0\)
Завдання.
1) Побудовою лінії другого порядку, визначити вид лінії(коло, еліпс, гіпербола та інш.).
2) Знайти канонічне рівняння лінії другого порядку.
Завдання 1 виконувати за допомогоюкомп’ютера.
