Завдання: На рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції \(f(x) = ax^2+\frac{2b}{3}x+5\). Площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями \(y = f(x), y=0,x=0,x=1\), дорівнює 21 кв.од. Обчисліть суму \(a+b\)
Рішення: геометрический смысл определенного интеграла: если \(f(x) \geq 0\) на отрезке [a;b], a < b, от определенный интеграл \( \int_a^bf(x)dx\) равен площади криволинейной трапеции - фигуры ограниченной линиями \(y = f(x), y=0,x=a,x=b\) \(S = \int_a^bf(x)dx \quad (1)\)
Подставляем в (1) данные задачи $$S = \int_0^1(ax^2+\frac{2b}{3}x+5)dx = $$ применим формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\), а также формулу интеграла от степенной функции \(\int x^axdx = \frac{x^{a+1}}{a+1}+C\), получаем $$a\frac{x^3}{3}+\frac{2b}{2*3}x^2+5x|_0^1 = a\frac{x^3}{3}+\frac{b}{3}x^2+5x|_0^1 = $$$$a\frac{1}{3}+\frac{b}{3}+5$$ Согласно условия задачи \(S=21\), тогда $$a\frac{1}{3}+\frac{b}{3}+5 = 21 => a+b = (21-5)*3 = 48$$
Відповідь: сумма \(a+b=48\).
попереднє завдання № 31 наступне завдання № 33
