Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Пробне ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 33.

Завдання: Основою піраміди \(SABCD\) є трапеція \(ABCD\) \(BC||AD\). Бічна грань \(SBC\), площа якої дорівнює \(24,4см^2\), перпендикулярна до площини основи піраміди. Точка \(M\) - середина ребра \(SB\). Площина \(MAD\) перетинає ребро \(SC\) в точці \(N\). Визначте довжину відрізка \(MN\) (у см), якщо об’єм піраміди дорівнює \(152 см^3\), а площа її основи - \(57 см^2\).

Рішення: 
Рассмотрим рисунок


Докажем, что \(MN\) - средняя линия треугольника \(ΔSBC\).
Средняя линия треугольника  - отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия параллельна третей стороне и равна ее половине.
Точка M - середина стороны \(BS\)  по условию задачи, осталось доказать, чтобы \(MN\) параллельна \(BC\) \(MN||BC\).
Доказательство: по условию задачи \(AD||BC\) как стороны трапеции. Плоскость  \(MADN\) проходит через сторону \(AD\) трапеции, тогда согласно теоремы, если прямая, которая не принадлежит плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то эта прямая параллельна плоскости, отсюда следует, что сторона трапеции \(BC\) параллельна плоскости \(MADN\). Прямая \(MN\) - пересечение плоскости \(MADN\) и плоскости на которой лежит грань \(SBC\), т.к. \(BC\) параллельна плоскости \(MADN\), то она будет параллельна прямой \(MN\), т.е. отрезки \(MN||BC\) параллельны,т.е \(MN\) - средняя линия треугольника \(ΔSBC\) и  \(MN = \frac{1}{2}BC\).
Найдем сторону \(BC\). Эля этого в условии дана площадь прямоугольного треугольника \(ΔSBC\), которая равна $$S_{ΔSBC} = \frac{1}{2}SB*BC = 24.4 => BC = \frac{48.8}{SB} \quad (1)$$ \(SB = H\)  - высота трапеции, а в трапеции известен ее объем $$V = \frac{1}{3}S_{осн}H$$ где по условию \(S_{осн} = 57см^2\), получаем $$\frac{1}{3}57*H = 152 => H = 8$$ подставляем результат в (1) $$BC = \frac{48.8}{H}  = \frac{48.8}{8} = 6.1$$ Мы уже получили, что средняя линия $$MN = \frac{1}{2}BC => NB = 3.05$$
Відповідь: $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline & &  & 3& , &0 &5 & \\ \hline \hline \end{array} $$


  попереднє завдання № 32     наступне завдання № 34

Captcha Challenge
Reload Image
Type in the verification code above