Завдання: Основою піраміди \(SABCD\) є трапеція \(ABCD\) \((AD∥BC)\), довжина середньої лінії якої дорівнює 5 см. Бічне ребро \(SB\) перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції \(ABCD\).
Знайдіть відстань від середини ребра \(SD\) до площини \(SBC\) (у см), якщо об'єм піраміди дорівнює \(240 см^3\).
Рішення: рассмотрим рисунок
Расстояние от точки до плоскости равно перпендикуляру, опущенному из точки на плоскость. Проведем плоскость через т. \(M\) перпендикулярно плоскости \(SBC\) и прямой \(BC\), лежащей в этой плоскости. Найдем длину перпендикуляра из т. \(M\) - \(ML\) на плоскость \(SBC\). Проведем плоскость \(SBD\) и рассмотрим сечение \(ΔSBD\). Рассмотрим четырехугольник \(OMLN\), полученный пересечением этих плоскостей - прямоугольник (по условию пирамида прямоугольная). Т.е. \(ML = ON\). \(MO\) - средняя линия \(ΔSBD\). Опустим перпендикуляр \(DP\) из вершины \(D\) на сторону \(BC\). Рассмотрим треугольник \(ΔBDP\). \(ON\) - средняя линия прямоугольного треугольника \(ΔBDP\), где \(DP\) - высота трапеции, т.е. \(ON = \frac{DP}{2}\).
Для решении задачи необходимо найти высоту трапеции. Найдем ее используя известный объем трапеции и формулу объема $$V_{пир} = \frac{1}{3}S_{осн.}*H_{пир} = \frac{1}{3} \frac{a+b}{2}*h_{тр.}*H_{пир} $$Из условия известна длина средней линии трапеции, которая равна \(\frac{a+b}{2} = 5\) и высота пирамиды \(H_{пир} = 2*5 = 10\). Подставим полученные значения в формулу и найдем высоту трапеции $$V_{пир} = \frac{1}{3}*\frac{a+b}{2}*h_{тр.}*H_{пир} = \frac{1}{3}*5*h_{тр.}*10 = 240 => h_{тр.} = \frac{72}{5}$$Найдем искомое расстояние от точки до плоскости $$ML = ON = \frac{1}{2} h_{тр} = \frac{1}{2}*\frac{72}{5} = \frac{36}{5} = 7,2$$
Відповідь: 7,2
