Примеры решения задач с размещениями и перестановками

Пример 1
На сейф установили 10-цифровой кодовой замок с семизначным кодом. Сколько существует разных способов поставить код замка?
Каждый код это размещение с повторением из десяти цифр на семи позициях. Ответ: \(10^7\).

Пример 2
Сколькими способами 21 разных шарика можно разложить по девяти разных пакетах?
Пускай \(a_{i}\) - номер пакета, в которых коложету i-тый шарик, \(i\epsilon\overline{1,21}\), \( a_{i}\epsilon\overline{1,9}\). Тогда распределение шариков по пакетах - последовательность \((a_{1},a_{2},...,a_{21})\) - это размещение из 9 по 21. Ответ:\(9^{21}\).

Пример 3
Сколько слов можно сложить, использовав три буквы из слова camel?
Каждое слово из трех букв, которое можно сложить из букв слова camel, есть размещением пяти букв по трем позициям. Ответ:\( \frac{5!}{2!} = 60\).

Пример 4
Сколькими способами группу из 24 студентов можно рассадить в аудитории на 34 места?
Уточним задачу: нас интересует не количество свободных или занятых мест, а то, какое место занимает какой студент. На языке комбинаторики этот вопрос звучит так: "Сколько существует размещений из 34 по 24?". Ответ:\(\frac{34!}{10!}\).

Пример 5
Сколько слов можно сложить использовав все буквы слова earth?
Каждое слово которое можно сложить использовав все буквы слова earth это перестановка пяти букв. Ответ: 5! = 120.

Пример 6
Сколькими способами можно разместить на шахматной доске 8 ладей так, что бы они не били одна другую?
Понятно, что на каждой вертикали и горизонтали должна стоять ровно одна ладья. Пускай \(a_{i}\) - позиция по вертикали ладьи, которая занимает i-тую горизонталь, \(i\epsilon\overline{1,8}\). Тогда расстановка ладей однозначно будет задаваться последовательностью \((a_{1},a_{2},...,a_{8})\) с попарно разными элементами, то есть перестановкой чисел 1,2,...,8. По этому между искомой расстановкой ладей и перестановками чисел 1,2,...8 существует биекция. Ладьи можно расставить 8! способами. Ответ: 8!.

Пример 7
Найти количество биекций между n-элементными множествами A и B.
Пускай \(A = \left\{a_{1},a_{2},...a_{n}\right\}\), \(B = \left\{b_{1},b_{2},...b_{n}\right\}\). Между множеством всех перестановок множества \(\overline{1,n}\) и множеством биекций из A в B можно установить биекцию:
перестановке \(k = (k_{1},k_{2},...,k_{n})\) ставим в соответствие биекцию \(\phi(k) = \left\{(a_{i},b_{k_{i}})| i \epsilon\overline{1,n}\right\}\). Таким образом, количество биекций из A в B равно количеству перестановок n-элементного множества, то есть n!. Ответ:n!.