ЗНО 2013 року з математики (1 сесія). Завдання № 33.

Завдання: Знайдіть значення параметра $a$, при якому корінь рівняння $$\mbox{lg}(\sin5\pi x)=\sqrt{16+a-x}$$ належить проміжку $(1;\frac{3}{2})$.

Рішення: все уравнения нужно начинать с ОДЗ. Проанализируем области определения и области значения всех функций в уравнении.
В правой части уравнения находится корень, т.е. $\sqrt{16+a-x} \geq 0 =>$значения функции так же $\mbox{lg}(\sin5\pi x) \geq 0$. Мы определили, что логарифм больше или равен 0, а теперь рассмотрим при каких значениях аргумента это возможно. В данном случае аргументом является функция $\sin(5\pi x)$. Рассмотрим рисунок с графиком функции логарифма.

 Видим, что логарифм больше или равен 0 при значениях аргумента $\sin(5\pi x) \geq 1$, но мы помним, что областью значения $E_{\sin} = [-1;1]$, т.е. мы получили, что есть единственное значение аргумента $\sin(5\pi x) = 1$ при котором логарифм больше или равен 0 (в данном случае только равен). Из полученного равенства найдем $x$ $$\sin(5 \pi x) = 1 => 5 \pi x = \frac{\pi}{2} \pm 2 \pi n => x = \frac{1}{10} \pm \frac{2}{5}n, \quad n \in Z$$ По условию задачи известно, что $x \in (1; \frac{3}{2})$. Подставим значения $n$ и найдем $x$ попадающий в указанные промежуток $$n=2, x = \frac{1}{10} + \frac{2}{5}*2 = 0,9$$ $$n=3, x = \frac{1}{10} + \frac{2}{5}*3 = 1,3$$ $$n=4, x = \frac{1}{10} + \frac{2}{5}*4 = 1,7$$ Вывод, в интервал попало только одно значение $x = 1,3$

Теперь вернемся к уравнению и продолжим его решение. Учтем, что слева $\mbox{lg}(\sin5\pi x) =0$, получим $$\sqrt{16+a-x} = 0 => 16+a-x = 0$$ Подставим значение $x=1,3$ $$16+a-1,3 =0 =>a = -14,7$$
Відповідь:  $a = -14,7$

  попереднє завдання № 32