Рассмотрим примеры сведения логарифмических неравенств , у которых основание, выражение под знаком логарифма являются многочленами. Такие неравенства можно свести к дробно-рациональным или рациональным. Данный метод более компактными по сравнению с традиционными. Рассмотрим традиционный метод и сравним его с методом рационализации, в чем его отличие и эффективность при решении неравенств.
Традиционный метод: рассмотрим неравенство $$\log_{a(x)}f(x) > \log_{a(x)}g(x)$$где \(a(x);f(x);g(x)\) - некоторые функции. При решении традиционным методом необходимо рассмотреть два случая
- основание логарифма \( 0 < a(x) < 1\), логарифм является монотонно убывающей функцией, поэтому при переходе к рассмотрению аргументов знак неравенства меняется на противоположный \(f(x) < g(x)\)
- основание логарифма \( a(x) > 1\), логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому при переходе к рассмотрению аргументов знак неравенства остается без изменения \(f(x) > g(x)\)
Как видим традиционный метод несколько громоздкий, поэтому для решения подобных неравенств используют метод рационализации. Рассмотрим его подробнее.
Метод рационализации при решении логарифмических неравенств: неравенство \(\log_{a(x)}f(x) > \log_{a(x)}g(x)\) сводится к решению системы неравенств в которую мы напишем ОДЗ логарифмических функций \(a(x) > 0; a(x) \ne 1\), а также \(f(x) > 0 ; g(x) >0\) и допишем неравенство $$(a(x) -1)(f(x)-g(x)) \geq 0$$это неравенство и является сутью данного метода, оно в себе содержит сразу два случая, которые рассматриваются при традиционном методе:
- основание логарифма \( 0 < a(x) < 1\), тогда \(a(x) -1 < 0 \), тогда разность многочленов \(f(x) - g(x) < 0 \) ("-"*"-" > 0), т.е. логарифм убывающая функция и мы пришли к истинному неравенству \(f(x) - g(x) < 0 \),т.е. большему значению \(x\) соответствует меньшее значение функции.
- основание логарифма \( a(x) > 1\), тогда \(a(x) -1 > 0 \), тогда разность многочленов \(f(x) - g(x) > 0 \) ("+"*"+" > 0) т.е. логарифм возрастающая функция и мы пришли к истинному неравенству \(f(x) - g(x) > 0 \),т.е. большему значению \(x\) соответствует меньшее значение функции.
Рассмотрим применение метода на следующем примере :
$$\begin{cases}\frac{2^{x+1}+31}{32-2^x} \geq 1\\ \log_{(x-1)^2}(x+5)\leq 1\end{cases}$$запишем ОДЗ обоих неравенств, для первого: знаменатель не равен 0 \(32-2^x \ne 0\), для второго: основание больше 0 и не равно 1 \((x-1)^2 > 0; (x-1)^2 \ne 1\), а так же многочлен под знаком логарифма \(x+5 >0\). Составим систему неравенств для ОДЗ $$\begin{cases}32-2^x \ne 0\\(x-1)^2 > 0 \\ (x-1)^2 \ne 1 \\ x+5 >0 \end{cases} =>\begin{cases}32 \ne 2^x\\ x \ne 1 \\ x^2 -2x + 1 \ne 1 \\ x >-5 \end{cases} =>$$$$\begin{cases}2^5 \ne 2^x\\ x \ne 1 \\ x(x -2) \ne 0 \\ x >-5 \end{cases} => \begin{cases}x \ne 5\\ x \ne 1 \\ x \ne 0; x \ne 2 \\ x >-5 \end{cases}$$а теперь приступаем к решению системы неравенств, неравенство с логарифмами заменим на произведение \((x-1)^2 -1\) - основание минус 1, а второй множитель - разность аргумента большего логарифма минус аргумент меньшего логарифма, для этого представим \( \log_{(x-1)^2}(x-1)^2 = 1\), получим \(\log_{(x-1)^2}(x+5) \leq \log_{(x-1)^2}(x-1)^2\), а теперь получим второй множитель \((a(x)-1)(f(x)-g(x)\) \(((x-1)^2-1)*((x-1)^2-x-5)\). Подставим в систему неравенств $$\begin{cases}\frac{2^{x+1}+31}{32-2^x} \geq 1\\ \log_{(x-1)^2}(x+5)\leq \log_{(x-1)^2}(x-1)^2\end{cases} =>\begin{cases} \frac{2^{x+1}+31}{32-2^x} -1 \geq 0 \\ ((x-1)^2-1)((x-1)^2-(x+5))\geq 0\end{cases} =>$$$$\begin{cases} \frac{2*2^{x}+31 - 32 +2^x}{32-2^x} \geq 0 \\ (x^2 -2x+1-1)(x^2-2x+1-x-5) \geq 0\end{cases} => \begin{cases} (3*2^x- 1)(32-2^x) \geq 0 \\ (x^2 -2x)(x^2-3x-4) \geq 0\end{cases} =>$$$$ \begin{cases} (3*2^x- 1)(2^x-32) \leq 0 \\ x(x -2)(x-4)(x+1) \geq 0\end{cases} => \begin{cases} (x+\log_23)*(x-5) \leq 0 \\ x(x -2)(x-4)(x+1) \geq 0\end{cases} => $$$$\begin{cases}x \in [-\log_23;5] \\ x \in (-\infty;-1] \cup [0;2] \cup [4;+\infty)\end{cases} => x \in [-\log_23;-1] \cup [0;2] \cup [4;5]$$Из ОДЗ учтем, что \(x \ne 0; x \ne 1; x \ne 2; x \ne 5\), получим \(x \in [-\log_23;-1] \cup (0;1) \cup (1;2) \cup [4;5)\)
