Рассмотрим принцип решения задач по теме : "Прямая линия на плоскости, нахождение уравнения прямой, проходящей через заданную точку, нахождение точек пересечения, углов биссектрис и т.д.".
В качестве примера рассмотрим следующую задачу
Пример: Даны координаты вершин треугольника ABC A(3; -3); B(-1;-6); C(-6;0)
- Составьте уравнение сторон треугольника.
- Найдите уравнение
- высоты AD,
- медианы BM,
- биссектрисы CF.
- Составьте систему неравенств, областью решения которой является множество всех точек треугольника ABC.
- Найдите угол B в радианах с точностью до двух знаков.
- Сделайте чертеж.
Решение:
- Составьте уравнение сторон треугольника. Для составления уравнения сторон треугольника обратимся к условию задачи. В условии даны координаты трех вершин треугольника, т.е. для составления уравнения прямых AB,BC,CD даны по 2 точки, через которые эти прямые проходят. Для решения воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}где (x_1;y_1) - координаты первой известной точки, (x_2;y_2) - координаты второй известной точки. Подставим координаты и получим уравнение прямых
прямая AB , проходит через точки A(3; -3); B(-1;-6), составим уравнение \frac{y-(-3)}{(-6)-(-3)}=\frac{x-3}{-1-3} =>\frac{y+3}{-3}=\frac{x-3}{-4} =>y=\frac{3}{4}x-\frac{21}{4}получили уравнение прямой AB. В уравнении прямой отметим угловой коэффициент k_{AB} = \frac{3}{4}, который понадобится в следующих задачах.
прямая BC, проходит через точки B(-1;-6);C(-6;0), составим уравнение \frac{y-(-6)}{0-(-6)}=\frac{x-(-1)}{-6-(-1)} =>\frac{y+6}{6}=\frac{x+1}{-5} =>y=-\frac{6}{5}x-\frac{36}{5}получили уравнение прямой BC. В уравнении прямой отметим угловой коэффициент k_{BC} = -\frac{6}{5}, который понадобится в следующих задачах.
прямая AC, проходит через точки A(3; -3);C(-6;0), составим уравнение \frac{y-(-3)}{0-(-3)}=\frac{x-3}{-6-3} =>\frac{y+3}{3}=\frac{x-3}{-9} =>y=-\frac{1}{3}x-2получили уравнение прямой AC. В уравнении прямой отметим угловой коэффициент k_{AC} = -\frac{1}{3}, который понадобится в следующих задачах. - Найдите уравнение
- высоты AD, в уравнении высоты у нас известна координата только одной точки - A(3; -3), поэтому воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении. y-y_0=k_{AD}(x-x_0), где (x_0;y_0) - координаты известной точки, а k_{AD} - угловой коэффициент. В данном уравнении нам неизвестен только угловой коэффициент. Найдем его, для этого воспользуемся свойство перпендикулярных прямых. Прямая AD \bot BC. Запишем свойство k_{AD}*k_{BC} = -1 =>k_{AD}*( -\frac{6}{5})= -1 =>k_{AD}=\frac{5}{6}. Составим уравнение прямой AD y-(-3)=\frac{5}{6}(x-3)=>y = \frac{5}{6}x-\frac{11}{2}
- медианы BM, для нахождения уравнения медианы в задаче даны координаты одной точки B(-1;-6), а также известно, что медиана делит противоположную сторону пополам. Найдем координаты точки M. Для этого воспользуемся формулой координаты точки, которая делит отрезок AC в заданном отношении \lambda, где \lambda = \frac{AM}{MC}=\frac{1}{1}=1, а координаты (x_1;y_1),(x_2;y_2) - координаты концов отрезка, который делит точка M т.е.точек A(3; -3); C(-6;0), подставим и получим x = \frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}=\frac{3+1*(-6)}{1+1}=-\frac{3}{2}y = \frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}=\frac{-3+1*0}{1+1}=-\frac{3}{2}получили координаты точки M(-\frac{3}{2};-\frac{3}{2}). Получили две точки, через которые проходит прямая, для получения уравнения прямой воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданные две точки \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}, подставим координаты точек B(-1;-6),M(-\frac{3}{2};-\frac{3}{2}) и получим \frac{y+6}{-\frac{3}{2}+6}=\frac{x+1}{-\frac{3}{2}+1} =>y=-9x-15
- биссектрисы CF, для нахождения уравнения биссектрисы воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам \frac{AF}{FB}=\frac{AC}{BC}, т.е. таким образом мы найдем коэффициент \lambda, затем воспользуемся формулой координаты точки, которая делит отрезок AB в заданном отношении \lambda и найдем координаты точки F и последнее, подставим полученные координаты в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Приступим: найдем длины отрезков AC, BC. AC = \sqrt{(x_c-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}=\sqrt{(-6-3)^2+(0-(-3))^2} =\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90}BC = \sqrt{(x_c-x_b)^2+(y_c-y_b)^2}=\sqrt{(-6-(-1))^2+(0-(-6))^2} =\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}теперь найдем коэффициент \lambda=\frac{AF}{FB}=\frac{AC}{BC}=\sqrt{\frac{90}{61}}. Найдем координаты точки F при известных координатах концов отрезка AB A(3; -3); B(-1;-6) x = \frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}=\frac{3-\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}y = \frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}=\frac{-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}Получили две точки, через которые проходит прямая CF, для получения уравнения прямой CF воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданные две точки \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}, подставим координаты точек C(-6;0); F(\frac{3-\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}};\frac{-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}) и получим \frac{y-0}{\frac{-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}-0}=\frac{x+6}{\frac{3-\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}+6} =>\frac{y}{\frac{-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}}=\frac{x+6}{\frac{3-\sqrt{\frac{90}{61}}+6+6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}} =>\frac{y}{-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}}}=\frac{x+6}{9+5\sqrt{\frac{90}{61}}}=>y=\frac{x+6}{9+5\sqrt{\frac{90}{61}}}*(-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}})=>y=-\frac{3+6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{9+5\sqrt{\frac{90}{61}}}*x-18\frac{1+2*\sqrt{\frac{90}{61}}}{9+5\sqrt{\frac{90}{61}}} - Составьте систему неравенств, областью решения которой является множество всех точек треугольника ABC. Это множество точек, которые лежат ниже прямой AC, т.е. y \leq -\frac{1}{3}x-2, выше прямых BC y \geq -\frac{6}{5}x-\frac{36}{5} и AB y \geq \frac{3}{4}x-\frac{21}{4}, запишем это \begin{cases}y \leq -\frac{1}{3}x-2 \\ y \geq -\frac{6}{5}x-\frac{36}{5} \\ y \geq \frac{3}{4}x-\frac{21}{4} \end{cases}
- Найдите угол B в радианах с точностью до двух знаков. Угол между прямыми рассчитывается по формуле \mbox{tg}a = |\frac{k_2-k_1}{1+k_1*k_2}|где k_1=k_{BC}=-\frac{6}{5}, k_2=k_{AB}=\frac{3}{4} подставим в формулу \mbox{tg}a = |\frac{\frac{3}{4}+\frac{6}{5}}{1-\frac{3}{4}*\frac{6}{5}}|=19\frac{1}{2} => a = 87.06^0Данная формула позволяет вычислить острый угол между прямыми. Из рисунка видно, что искомый угол B треугольника - тупой угол ΔADB - прямоугольный, угол D=90, остальные два угла в сумме меньше 90^0, т.е. B = 180^0-a=180^0-87.06^0=92,94^0. В задаче необходимо в ответе указать угол в радианах B=92,94^0*\frac{\pi}{180^0}=1,62
- Сделайте чертеж.