Решаем типовую задачу по аналитической геометрии. Прямая линия на плоскости.

Рассмотрим принцип решения задач по теме : "Прямая линия на плоскости, нахождение уравнения прямой, проходящей через заданную точку, нахождение точек пересечения, углов биссектрис и т.д.".

В качестве примера рассмотрим следующую задачу

Пример: Даны координаты вершин треугольника $ABC$   $A(3; -3); B(-1;-6); C(-6;0)$

1. Составьте уравнение сторон треугольника.


2. Найдите уравнение




1. высоты $AD$,


2. медианы $BM$,


3. биссектрисы $CF$.




3. Составьте систему неравенств, областью решения которой является множество всех точек треугольника $ABC$.


4. Найдите угол $B$ в радианах с точностью до двух знаков.


5. Сделайте чертеж.

Решение:

1. Составьте уравнение сторон треугольника. Для составления уравнения сторон треугольника обратимся к условию задачи. В условии даны координаты трех вершин треугольника, т.е. для составления уравнения прямых $AB,BC,CD$ даны по 2 точки, через которые эти прямые проходят. Для решения воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки $$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$ где $(x_1;y_1)$ - координаты первой известной точки, $(x_2;y_2)$ - координаты второй известной точки. Подставим координаты и получим уравнение прямых
   прямая $AB$ , проходит через точки $A(3; -3); B(-1;-6)$, составим уравнение $$\frac{y-(-3)}{(-6)-(-3)}=\frac{x-3}{-1-3} =>\frac{y+3}{-3}=\frac{x-3}{-4} =>y=\frac{3}{4}x-\frac{21}{4}$$ получили уравнение прямой $AB$. В уравнении прямой отметим угловой коэффициент $k_{AB} = \frac{3}{4}$, который понадобится в следующих задачах.
   прямая $BC$, проходит через точки $B(-1;-6);C(-6;0)$, составим уравнение $$\frac{y-(-6)}{0-(-6)}=\frac{x-(-1)}{-6-(-1)} =>\frac{y+6}{6}=\frac{x+1}{-5} =>y=-\frac{6}{5}x-\frac{36}{5}$$ получили уравнение прямой $BC$. В уравнении прямой отметим угловой коэффициент $k_{BC} = -\frac{6}{5}$, который понадобится в следующих задачах.
   прямая $AC$, проходит через точки $A(3; -3);C(-6;0)$, составим уравнение $$\frac{y-(-3)}{0-(-3)}=\frac{x-3}{-6-3} =>\frac{y+3}{3}=\frac{x-3}{-9} =>y=-\frac{1}{3}x-2$$ получили уравнение прямой $AC$. В уравнении прямой отметим угловой коэффициент $k_{AC} = -\frac{1}{3}$, который понадобится в следующих задачах.


2. Найдите уравнение




1. высоты $AD$, в уравнении высоты у нас известна координата только одной точки - $A(3; -3)$, поэтому воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении. $$y-y_0=k_{AD}(x-x_0)$$ , где $(x_0;y_0)$ - координаты известной точки, а $k_{AD}$ - угловой коэффициент. В данном уравнении нам неизвестен только угловой коэффициент. Найдем его, для этого воспользуемся свойство перпендикулярных прямых. Прямая $AD \bot BC$. Запишем свойство $k_{AD}*k_{BC} = -1 =>k_{AD}*( -\frac{6}{5})= -1 =>k_{AD}=\frac{5}{6}$. Составим уравнение прямой $AD$ $$y-(-3)=\frac{5}{6}(x-3)=>y = \frac{5}{6}x-\frac{11}{2}$$


2. медианы $BM$, для нахождения уравнения медианы в задаче даны координаты одной точки $B(-1;-6)$, а также известно, что медиана делит противоположную сторону пополам. Найдем координаты точки $M$.  Для этого воспользуемся формулой координаты точки, которая делит отрезок $AC$ в заданном отношении $\lambda$, где $\lambda = \frac{AM}{MC}=\frac{1}{1}=1$, а координаты $(x_1;y_1),(x_2;y_2)$ - координаты концов отрезка, который делит точка $M$ т.е.точек $A(3; -3); C(-6;0)$, подставим и получим $$x = \frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}=\frac{3+1*(-6)}{1+1}=-\frac{3}{2}$$ $$y = \frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}=\frac{-3+1*0}{1+1}=-\frac{3}{2}$$ получили координаты точки $M(-\frac{3}{2};-\frac{3}{2})$. Получили две точки, через которые проходит прямая, для получения уравнения прямой воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданные две точки $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$, подставим координаты точек $B(-1;-6),M(-\frac{3}{2};-\frac{3}{2})$ и получим $$\frac{y+6}{-\frac{3}{2}+6}=\frac{x+1}{-\frac{3}{2}+1} =>y=-9x-15$$


3. биссектрисы $CF$, для нахождения уравнения биссектрисы воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам $\frac{AF}{FB}=\frac{AC}{BC}$, т.е. таким образом мы найдем коэффициент $\lambda$, затем воспользуемся формулой координаты точки, которая делит отрезок $AB$ в заданном отношении $\lambda$ и найдем координаты точки $F$ и последнее, подставим полученные координаты в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
   
   Приступим: найдем длины отрезков $AC$, $BC$. $$AC = \sqrt{(x_c-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}=\sqrt{(-6-3)^2+(0-(-3))^2} =\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90}$$ $$BC = \sqrt{(x_c-x_b)^2+(y_c-y_b)^2}=\sqrt{(-6-(-1))^2+(0-(-6))^2} =\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}$$ теперь найдем коэффициент $\lambda=\frac{AF}{FB}=\frac{AC}{BC}=\sqrt{\frac{90}{61}}$. Найдем координаты точки $F$ при известных координатах концов отрезка $AB$ $A(3; -3); B(-1;-6)$ $$x = \frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}=\frac{3-\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}$$ $$y = \frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}=\frac{-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}$$ Получили две точки, через которые проходит прямая $CF$, для получения уравнения прямой $CF$ воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданные две точки $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$, подставим координаты точек $C(-6;0); F(\frac{3-\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}};\frac{-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}})$ и получим $$\frac{y-0}{\frac{-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}-0}=\frac{x+6}{\frac{3-\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}+6} =>\frac{y}{\frac{-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}}=\frac{x+6}{\frac{3-\sqrt{\frac{90}{61}}+6+6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}} =>$$ $$\frac{y}{-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}}}=\frac{x+6}{9+5\sqrt{\frac{90}{61}}}=>$$ $$y=\frac{x+6}{9+5\sqrt{\frac{90}{61}}}*(-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}})=>$$ $$y=-\frac{3+6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{9+5\sqrt{\frac{90}{61}}}*x-18\frac{1+2*\sqrt{\frac{90}{61}}}{9+5\sqrt{\frac{90}{61}}}$$




3. Составьте систему неравенств, областью решения которой является множество всех точек треугольника $ABC$. Это множество точек, которые лежат ниже прямой $AC$, т.е. $y \leq -\frac{1}{3}x-2$, выше прямых $BC$ $y \geq -\frac{6}{5}x-\frac{36}{5}$  и $AB$ $y \geq \frac{3}{4}x-\frac{21}{4}$, запишем это $$\begin{cases}y \leq -\frac{1}{3}x-2 \\ y \geq -\frac{6}{5}x-\frac{36}{5} \\ y \geq \frac{3}{4}x-\frac{21}{4} \end{cases}$$


4. Найдите угол $B$ в радианах с точностью до двух знаков. Угол между прямыми рассчитывается по формуле $$\mbox{tg}a = |\frac{k_2-k_1}{1+k_1*k_2}|$$ где $k_1=k_{BC}=-\frac{6}{5}$, $k_2=k_{AB}=\frac{3}{4}$ подставим в формулу $$\mbox{tg}a = |\frac{\frac{3}{4}+\frac{6}{5}}{1-\frac{3}{4}*\frac{6}{5}}|=19\frac{1}{2} => a = 87.06^0$$ Данная формула позволяет вычислить острый угол между прямыми. Из рисунка видно, что искомый угол $B$ треугольника - тупой угол $ΔADB$ - прямоугольный, угол $D=90$, остальные два угла в сумме меньше $90^0$, т.е. $B = 180^0-a=180^0-87.06^0=92,94^0$. В задаче необходимо в ответе указать угол в радианах $B=92,94^0*\frac{\pi}{180^0}=1,62$


5. Сделайте чертеж.