Завдання: Установіть відповідність між многокутником (1-4) і радіусом кола (А-Д), вписаного в цей многокутник.
Многокутник
- Рівносторонній трикутник зі стороною \(3\sqrt 3 cm\).
- Квадрат зі стороною 2 см.
- Прямокутний трикутник із катетами 6 см і 8 см.
- Правильний шестикутник зі стороною 2 см.
Радіус кола, вписаного в многокутник
А --> 1 см
Б --> 1,5 см
В --> \(\sqrt 3\)см
Г --> 2 см
Д --> 4 см
Рішення:
- Рівносторонній трикутник зі стороною \(3\sqrt 3 cm\).
Этот вопрос на знание свойства правильного треугольника. Основное свойство - высота, медиана, и биссектриса пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины. Точка их пересечения - центр вписанной в треугольник (и описанной) окружности.
А теперь решение. Известна сторона треугольника. Из прямоугольного треугольника \(ΔDCB\) находим \(CD\). Угол \(CBD = 60^0 \), \(\sin(CBD) = \frac{CD}{CB} =>CD = \sin(CBD) * CB\). \(\sin(CBD)=\frac{\sqrt 3}{2}\) \(CB=3\sqrt 3\) $$CD = \sin(CBD) * CB => CD = \frac{\sqrt 3}{2} * 3\sqrt 3 = \frac{9}{2}$$Как я уже говорил, в точке О медиана \(CD\) делится в пропорции 2:1, т.е. на 3 части, т.е. $$r = OD = \frac{1}{3}CD = \frac{1}{3} \frac{9}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$$
Если вспомнить формулы то получим тот же результат. Радиус вписанной в треугольник окружности \(r = \sqrt {\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\), где \(p = \frac{1}{2}(a+b+c)\), т.е. \(a=b=c\) \(p = \frac{1}{2}(a+b+c) = \frac{3}{2}a\). Подставляем в формулу радиуса и получаем \( r = \sqrt {\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} = \sqrt {\frac{(\frac{3}{2}a-a)^2}{\frac{3}{2}a}} = \sqrt{\frac{(\frac{1}{2}a)^3}{\frac{3}{2}a}} =>\) $$r = \frac{a}{2\sqrt 3}$$ подставим значение стороны \(a = 3\sqrt 3\) получим
$$r = \frac{a}{2\sqrt 3} = \frac{3\sqrt 3}{2\sqrt 3} = \frac{3}{2} = 1,5$$ Если запомните эти формулы, то это замечательно
Відповідь: 1 -->Б - Квадрат зі стороною 2 см.
С квадратом совсем просто. Радиус вписаной окружности равен \(r = \frac{a}{2} => r=1\)
Відповідь: 2 -->А - Прямокутний трикутник із катетами 6 см і 8 см.
Для решения этой задачи можно использовать несколько формул
радиус вписанной окружности через полупериметр \(r = \sqrt {\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\), где \(p = \frac{1}{2}(a+b+c)\)
$$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{ab}{a+b+c}$$ для всех этих формул нужны длины всех сторон треугольника. По теореме Пифагора найдем гипотенузу \(c = \sqrt {a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \), подставим значение в любую из формул и найдем радиус $$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{6+8-10}{2} =2$$
Відповідь: 3 -->Г - Правильний шестикутник зі стороною 2 см.
Нужно помнить, что если вершину вписанной окружности соединить с вершинами правильного шестиугольника получатся правильные треугольники, где высота \(OH = r\), таким образом, нужно вспомнить формулу высоты в правильном треугольнике, а можно получить из прямоугольного \(ΔOHB\) \(r = OH = OB * \sin (60) =>\) $$ r =\frac{\sqrt{3}}{2}a$$, где \(a\) - сторона правильного шестиугольника (правильного треугольника). Подставляем и получаем \(r = 2*\sqrt{3}{2} = \sqrt{3}\)
Відповідь: 4 -->В
Відповідь:
Відповідь: 1 -->Б
Відповідь: 2 -->А
Відповідь: 3 -->Г
Відповідь: 4 -->В
