Пробне ЗНО 2013 року з математики . Завдання № 23.

Завдання: У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребра $AB$, $BC$, $BB_1$ якого лежать на координатних осях (див. рисунок). Вершина $D_1$ має координати (4;8;12). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1. Точка $K(0;0;12)$


2. Точка $M(1;8;0)$


3. Точка $P(4;4;4)$


4. Точка $Q(0;4;6)$

Закінчення речення

А належить грані $AA_1D_1D$
Б належить ребру $CD$
В належить діагоналі $AC_1$
Г належить діагоналі $BC_1$
Д збігається з точкою $B1$

Теорія до завдання: рассмотрим основные моменты, используя которые можно просто решить данный тип задач. Все ребра и плоскости перпендикулярны.

1. Точка, ребро лежит на оси. Если точка лежит на оси, например $x$ , то все ее координаты кроме этой оси равны 0. Рассмотрим наш случай. На оси $x$ лежит точка $A$, т.е. ее координаты $(x;0;0)$. Как определить $x$. Есть на рисунке только 1 точка с координатами - точка $D_1(4;8;12)$. Т.е. у нас прямоугольный параллелепипед, то точка $A$ - проекция точки $D_1$ на ось $x$, т.е. координата $A(4;0;0)$. Соответственно $C(0;8;0)$, $B_1(0;0;12)$.
   Если точка лежит на ребре, то соответственно смотрим на какой оси лежит ребро, т.е. определяем нулевые координаты, а величина ненулевой координаты координаты должна попадать диапазон от начала координат до вершины, т.е. , например,если точка лежит на ребре $AB$ ее координаты должны быть $(0 < x < 4; 0; 0)$
   


2. Точка лежит на грани. Если точка лежит на грани, смотрим в какой плоскости лежит грань, если в координатной плоскости, например, $xz$, то координата $y=0$, т.е. ее координаты $(0 < x < 4; 0 < y < 8; 0)$
   

 Рішення:

1. Точка $K(0;0;12)$ - координаты $x=0; y=0$, т.е эта точка лежит на оси $z$, а так как ее координата $z =12$,то точка $K$ совпадает с вершиной $B_1$ (см. Теорія до завдання 1)
   Відповідь: 1 -->Д


2. Точка $M(1;8;0)$. Координата точки $z=0$, т.е. эта точка лежит в плоскости $xy$, т.е. $(x=1 < 4 ; y = 8 ; 0)$
   точка лежит на ребре $CD$
   Відповідь: 2 -->Б


3. Точка $P(4;4;4)$. У точки все три координаты, при этом $x = 4; y = 4 < 8 ; z = 4 < 12$. $x = 4$ означает, что точка лежит в плоскости перпендикулярной оси $x$ в точке $x=4$, попадание $y$ и $z$ в диапазон $y = 4 < 8 ; z = 4 < 12$ означает, что она лежит на грани $AA_1D_1D$.
   Відповідь: 3 -->А


4. Точка $Q(0;4;6)$. Координата $x = 0$ означает, что точка лежит в плоскости $yz$. Рассмотрим остальные координаты $y = 4 < 8, z = 6 < 12$, т.е. точка лежит на грани $BB_1C_1C$. Проверим лежит ли она на диагонали $BC_1$. Координата точки $C_1(0;8;12)$. Тангенс угла наклона диагонали к оси $y$ равен $tg = k = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ отсюда получим уравнение прямой, на которой лежит диагональ $z = \frac{3}{2}y$. Если подставить координаты точки в это уравнение  и получится истинное равенство, то точка $Q(0;4;6)$ лежит на диагонали. Подставим $z = \frac{3}{2}y => 6 = \frac{3}{2} 4 =>6=6$. Вывод, точка $Q(0;4;6)$ лежит на диагонали $BC_1$.
   Відповідь: 4 -->Г

 Відповідь:

1 -->Д
2 -->Б
3 -->А
4 -->Г

 попереднє завдання № 22     наступне завдання № 24