Завдання: У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA_1B_1C_1D_1, ребра AB, BC, BB_1 якого лежать на координатних осях (див. рисунок). Вершина D_1 має координати (4;8;12). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
- Точка K(0;0;12)
- Точка M(1;8;0)
- Точка P(4;4;4)
- Точка Q(0;4;6)
Закінчення речення
А належить грані AA_1D_1D
Б належить ребру CD
В належить діагоналі AC_1
Г належить діагоналі BC_1
Д збігається з точкою B1
Теорія до завдання: рассмотрим основные моменты, используя которые можно просто решить данный тип задач. Все ребра и плоскости перпендикулярны.
- Точка, ребро лежит на оси. Если точка лежит на оси, например x , то все ее координаты кроме этой оси равны 0. Рассмотрим наш случай. На оси x лежит точка A, т.е. ее координаты (x;0;0). Как определить x. Есть на рисунке только 1 точка с координатами - точка D_1(4;8;12). Т.е. у нас прямоугольный параллелепипед, то точка A - проекция точки D_1 на ось x, т.е. координата A(4;0;0). Соответственно C(0;8;0), B_1(0;0;12).
Если точка лежит на ребре, то соответственно смотрим на какой оси лежит ребро, т.е. определяем нулевые координаты, а величина ненулевой координаты координаты должна попадать диапазон от начала координат до вершины, т.е. , например,если точка лежит на ребре AB ее координаты должны быть (0 < x < 4; 0; 0) - Точка лежит на грани. Если точка лежит на грани, смотрим в какой плоскости лежит грань, если в координатной плоскости, например, xz, то координата y=0, т.е. ее координаты (0 < x < 4; 0 < y < 8; 0)
Рішення:
- Точка K(0;0;12) - координаты x=0; y=0, т.е эта точка лежит на оси z, а так как ее координата z =12,то точка K совпадает с вершиной B_1 (см. Теорія до завдання 1)
Відповідь: 1 -->Д - Точка M(1;8;0). Координата точки z=0, т.е. эта точка лежит в плоскости xy, т.е. (x=1 < 4 ; y = 8 ; 0)
точка лежит на ребре CD
Відповідь: 2 -->Б - Точка P(4;4;4). У точки все три координаты, при этом x = 4; y = 4 < 8 ; z = 4 < 12. x = 4 означает, что точка лежит в плоскости перпендикулярной оси x в точке x=4 , попадание y и z в диапазон y = 4 < 8 ; z = 4 < 12 означает, что она лежит на грани AA_1D_1D.
Відповідь: 3 -->А - Точка Q(0;4;6). Координата x = 0 означает, что точка лежит в плоскости yz. Рассмотрим остальные координаты y = 4 < 8, z = 6 < 12, т.е. точка лежит на грани BB_1C_1C. Проверим лежит ли она на диагонали BC_1. Координата точки C_1(0;8;12). Тангенс угла наклона диагонали к оси y равен tg = k = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} отсюда получим уравнение прямой, на которой лежит диагональ z = \frac{3}{2}y. Если подставить координаты точки в это уравнение и получится истинное равенство, то точка Q(0;4;6) лежит на диагонали. Подставим z = \frac{3}{2}y => 6 = \frac{3}{2} 4 =>6=6. Вывод, точка Q(0;4;6) лежит на диагонали BC_1 .
Відповідь: 4 -->Г
Відповідь:
1 -->Д
2 -->Б
3 -->А
4 -->Г