Завдання: Знайдіть найменше ціле значення параметра \(a\), при якому рівняння \(\sqrt{x^2-5x}+\sqrt{x^2-9x+20} = \sqrt{a}\sqrt{x-5}\) має два корені.
Рішення: найдем корни многочлена второй степени \(x^2-9x+20 = 0 => x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{81-4*20}}{2}=\frac{9 \pm 1}{2} => x_{1} = 5, x_{2}=4 \) т.о. мы разложили многочлен на множители \(x^2-9x+20 = (x-4)(x-5)\). Подставим полученное решение в равенство $$\sqrt{x^2-5x}+\sqrt{x^2-9x+20} = \sqrt{a}\sqrt{x-5} =>$$$$\sqrt{x*(x-5)}+\sqrt{(x-4)(x-5)} - \sqrt{a}\sqrt{x-5} = 0$$Вынесем общий множитель за скобки $$\sqrt{x-5}(\sqrt{x}+\sqrt{x-4} - \sqrt{a}) = 0$$ В задаче необходимо найти \(a\) при котором равенство имеет два корня,т.е. наименьшее целое \(a\) при котором множитель $$ \sqrt{x}+\sqrt{x-4} - \sqrt{a} = 0 => \sqrt{x}+\sqrt{x-4} = \sqrt{a} $$ получили зависимость \(a\) от \(x\), определи ОДЗ корней, чтобы найти наименьшее значение \(x\).
- \(\sqrt{x^2-5x}\) ОДЗ: \(x^2-5x \geq 0 => x(x-5) \geq 0 => x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty) \)
- \( \sqrt{x^2-9x+20}\) ОДЗ: \(x^2-9x+20 \geq 0 => (x-4)(x-5) \geq 0 => x \in (-\infty; 4] \cup [5; +\infty)\)
- \(\sqrt{x-5}\) ОДЗ: \(x-5 \geq 0 => x \in [5; +\infty)\)
Получили ОДЗ \( x \cup [5; +\infty)\), т.е. наименьший \(x=5\). т.к. \( \sqrt{x}+\sqrt{x-4}\) - монотонно возрастающая функция, то наименьшему значениях \(x\) соответствует наименьшее значение \(a\), поэтому подставим это значение и найдем наименьшее целое значение \(a\) $$\sqrt{a} = \sqrt{x}+\sqrt{x-4} =>\sqrt{a} = \sqrt{5}+\sqrt{5-4} =>$$$$ \sqrt{a} = \sqrt{5}+1$$возведем обе части равенства в квадрат $$ a = 5 +2\sqrt{5}+1 => a = 6 +2\sqrt{5}$$ найдем ближайшее целое к \( 2*\sqrt{5} \) это будет \( 2*\sqrt{5}= 2*2,5 =5 \) подставим полученное значение в формулу для \(a\) и найдем наименьшее целое \(a\) $$a = 6 +2\sqrt{5} => a = 6 + 5 = 11$$
Відповідь: 11
