Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GreekAndCoptic.js
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Пробне ЗНО 2013 року з математики . Завдання № 32.

Завдання: Основою прямої призми ABCDA_1B_1C_1D_1 є ромб ABCD, у якому більша діагональ AC = 17 cm. Об'єм призми дорівнює V =1020 cm^3 . Через діагональ AC та вершину B_1 тупого кута верхньої основи призми проведено площину, яка утворює з площиною основи призми кут \alpha. Знайдіть площу утвореного перерізу призми (у cm^2), якщо \mbox{tg}\alpha = 2,4


Рішення: нарисуем рисунок


Пробне ЗНО 2013 року з математики . Завдання № 32.


Вспомним основные формулы, которые нам понадобятся



  1. Объем прямой призмы равен V = S*H, где S - площадь основания, H -высота, опущенная с верхнего основания на нижнее. Т.к. призма прямая, то H = AA_1=BB_1=CC_1=DD_1.

  2. Площадь основания. Основанием призмы является ромб. В условии задачи дана длина одной диагонали ромба, поэтому попробуем использовать формулу площади ромба от двух ее диагоналей S_{ABCD} = \frac{AC*BD}{2}.

  3. В сечении мы получили треугольник, площадь треугольника равна S_{Δ}= \frac{1}{2}a*h, где a - известна диагональ ромба AC, а h = B_1O.


Таким образом объем можно выразить как V = S*h = \frac{AC*BD}{2} *H


Найдем H.Рассмотрим Δ BB_1O. В этом треугольнике у нас известен \mbox{tg}\alpha = 2,4, при этом \mbox{tg}\alpha = \frac{BB_1}{BO} = \frac{BB_1}{\frac{BD}{2}} = 2\frac{BB_1}{BD} => BB_1 = \frac{1}{2}BD\mbox{tg}\alpha\ = \frac{1}{2}BD*\frac{12}{5} = \frac{6}{5}BD => H=BB_1=\frac{6}{5}BDподставим полученное значение в объем V =\frac{AC*BD}{2} *H = \frac{AC*BD}{2}*\frac{6}{5}BDТаким образом мы получили формулу объема, зависящую от одной неизвестной BD, найдем ее V=\frac{AC*BD}{2}*\frac{6}{5}BD=1020 =>\frac{3}{5}*17*BD^2=1020=>BD^2=100 =>BD = 10Теперь опять вернемся в Δ BB_1O мы уже получили формулу для H=BB_1=\frac{6}{5}BD = \frac{6}{5}*10=12. Из того же треугольника по теореме Пифагора находим h = B_1O = \sqrt{BB_1^2+BO^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13. Все что нужно для нахождения площади сечения Δ AB_1C есть, найдем ее S_{AB_1C} = \frac{1}{2}AC*B_1O= \frac{1}{2}*17*13 =110,5


Відповідь: 110,5


попереднє завдання № 31     наступне завдання № 33

Captcha Challenge
Reload Image
Type in the verification code above