Пробне ЗНО 2013 року з математики . Завдання № 31.

Завдання: У прямокутній системі координат зображено ескіз графіка функції $y = \frac{x^3}{2} + x$ і пряму, задану рівнянням $x=a$ (див. рисунок). При якому додатному значенні $a$ площа заштриховано фігури дорівнюватиме 40 кв.од.?

Рішення: вспомним геометрический смысл определенного интеграла - площадь фигуры ограниченной сверху графиком функции, снизу осью $x$, а справа и слева перпендикулярами к оси $x$. Это определение практически полностью заложено в задании. Т.о. ищем определенный интеграл

$$S =\int_0^a ( \frac{x^3}{2} + x) dx =$$ применим свойство интеграла - интеграл суммы равен сумме интегралов $\int (f(x) +g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$ , а также формулу Ньютона — Лейбница или ее еще называют основная формула интегрального исчисления $\int_a^b f(x) dx = F(x) |_a^b = F(b) - F(a)$, где $a$ - левая граница искомой площади, в нашем случае $a = 0$, а $b$ - правая граница искомой площади, в нашем случае - неизвестная $a$. Применим указанные формулы и значения границ и получим $$S =\int_0^a \frac{x^3}{2}\, dx  + \int_0^a x \, dx  =$$ получили два табличных интеграла степенной функции, он равен $\int x^a \,dx = \frac{a^{a+1}}{a+1} + C$. Подставим в нашу формулу и учтем формулу Ньютона — Лейбница $$= \frac{x^{3+1}}{2(3+1)} + \frac{x^{1+1}}{1+1} |_0^a = \frac{x^4}{8} + \frac{x^2}{2} |_0^a = \frac{a^4}{8} + \frac{a^2}{2} - (\frac{0^4}{8} + \frac{0^2}{2}) =  \frac{a^4}{8} + \frac{a^2}{2}$$ интеграл (площадь фигуры) мы нашли, теперь нужно найти значение $a$. Для этого воспользуемся второй частью условия, где говорится что площадь равна 40 ед. кв.. Приравняем и получим уравнение четвертой степени и решим его $$\frac{a^4}{8} + \frac{a^2}{2} = 40 =>a^4 + 4a^2 - 320 = 0$$ это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно $a^2$, для тех кто не увидел, сделаем замену $t = a^2$, подставим $$t^2 + 4t^2 - 320 = 0 =>$$ $$t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 3* 320}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{1296}}{2} = \frac{-4 \pm 36}{2}$$ получили следующие корни $a^2 =t_{1} = 16$, $a^2 =t_{2} = -20$, т.к. квадрат может быть только положительным, то получаем $$a^2 = 16 => a = \pm 4$$ согласно условия задачи параметр $a$ - положительное число, поэтому оставляем одно значение $a = 4$

Відповідь: 4.

попереднє завдання № 30     наступне завдання № 32