Loading Web-Font TeX/Math/Italic
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Пробне ЗНО 2013 року з математики . Завдання № 31.

Завдання: У прямокутній системі координат зображено ескіз графіка функції y = \frac{x^3}{2} + x і пряму, задану рівнянням x=a (див. рисунок). При якому додатному значенні a площа заштриховано фігури дорівнюватиме 40 кв.од.?


Пробне ЗНО 2013 року з математики . Завдання № 31.


Рішення: вспомним геометрический смысл определенного интеграла - площадь фигуры ограниченной сверху графиком функции, снизу осью x, а справа и слева перпендикулярами к оси x. Это определение практически полностью заложено в задании. Т.о. ищем определенный интеграл S =\int_0^a ( \frac{x^3}{2} + x) dx =

применим свойство интеграла - интеграл суммы равен сумме интегралов \int (f(x) +g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx , а также формулу Ньютона — Лейбница или ее еще называют основная формула интегрального исчисления \int_a^b f(x) dx = F(x) |_a^b = F(b) - F(a), где a - левая граница искомой площади, в нашем случае a = 0, а b - правая граница искомой площади, в нашем случае - неизвестная a . Применим указанные формулы и значения границ и получимS =\int_0^a \frac{x^3}{2}\, dx  + \int_0^a x \, dx  =
получили два табличных интеграла степенной функции, он равен \int x^a \,dx = \frac{a^{a+1}}{a+1} + C. Подставим в нашу формулу и учтем формулу Ньютона — Лейбница = \frac{x^{3+1}}{2(3+1)} + \frac{x^{1+1}}{1+1} |_0^a = \frac{x^4}{8} + \frac{x^2}{2} |_0^a = \frac{a^4}{8} + \frac{a^2}{2} - (\frac{0^4}{8} + \frac{0^2}{2}) =  \frac{a^4}{8} + \frac{a^2}{2}
интеграл (площадь фигуры) мы нашли, теперь нужно найти значение a . Для этого воспользуемся второй частью условия, где говорится что площадь равна 40 ед. кв.. Приравняем и получим уравнение четвертой степени и решим его \frac{a^4}{8} + \frac{a^2}{2} = 40 =>a^4 + 4a^2 - 320 = 0
это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно a^2, для тех кто не увидел, сделаем замену t = a^2, подставим t^2 + 4t^2 - 320 = 0 =>
t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 3* 320}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{1296}}{2} = \frac{-4 \pm 36}{2}
получили следующие корни a^2 =t_{1} = 16, a^2 =t_{2} = -20, т.к. квадрат может быть только положительным, то получаем a^2 = 16 => a = \pm 4
согласно условия задачи параметр a - положительное число, поэтому оставляем одно значение a = 4


Відповідь: 4.


попереднє завдання № 30     наступне завдання № 32



Captcha Challenge
Reload Image
Type in the verification code above