Решаем следующий пример :)
Находим Интеграл Ньютона-Лейбница от рациональной функции
Еще примеров из этой темы будет 8, так что держитесь. $$ \int \frac{1+2t}{1-3t} \, dt = $$ Меняем знак в знаменателе и выносим коэффициенты при \( t\), это упростит дальнейшие шаги $$=-\frac{2}{3} \int \frac{t+\frac{1}{2}}{t-\frac{1}{3}} \, dt =$$ Выделяем целую часть $$= - \frac{2}{3} \int ( \frac{t - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{t-\frac{1}{3}})\, dt = - \frac{2}{3} \int ( 1 + \frac{5}{6}\frac{1}{t-\frac{1}{3}}) \, dt $$ Находим интеграл как интеграл суммы $$ =- \frac{2}{3} ( \int \, dt + \int \frac{5}{6}\frac{1}{t-\frac{1}{3}} \, dt )=$$ Производим замену для решения второго интеграла из суммы, а первый находим как интеграл от константы $$= \begin{cases}t-\frac{1}{3}=u \\ du= dt \end{cases} $$ После замены находим как табличный $$= - \frac{2}{3} ( t + \frac{5}{6} \int \frac{1}{|u|} \, du) = - \frac{2}{3} ( t + \frac{5}{6} \ln |u|) +С =$$ От замены переходим обратно к нашей переменной $$= - \frac{2}{3} ( t + \frac{5}{6} \ln |t-\frac{1}{3}|) +С = - \frac{2}{3} ( t + \frac{5}{6} (\ln |3t-1| - \ln 3) +С =$$$$ = - \frac{1}{9} (6 t + 5 \ln |3t-1| ) +С $$
Ответ: $$\int \frac{1+2t}{1-3t} \, dt = -\frac{1}{9}(6 t + 5 \ln |3t-1| ) +С$$
