Решил написать решение своей домашней работы. Может еще кому то понадобиться.
Найти интеграл Ньютона-Лейбница от рациональных функций f(t) = \frac{1}{(t^2+1)*(t^2+4)}
Обратим внимание на то что отняв второй множитель в знаменателе от первого, то мы получим 3, по этому переписываем наш интеграл в следующем виде:
\int_{}^{}\frac{1}{3}*(\frac{1}{(t^2+4)}-\frac{1}{(t^2+1)})=\frac{1}{3}*\int_{}^{}(\frac{1}{(t^2+4)}-\frac{1}{(t^2+1)})=
А далее приводим интегралы к табличным:
=\frac{1}{3}*\int_{}^{}(\frac{1}{4}*(\frac{1}{(\frac{t}{2})^2+1}-\frac{1}{(t^2+1)})=
И используя замену находим интеграл:
=\begin{cases}u =\frac{t}{2} \\du = \frac{1}{2}dt\end{cases}=\frac{1}{3}*(\frac{1}{4}*\int_{}^{} \frac{1}{u^2+1}*2du-\int_{}^{} \frac{1}{t^2+1})=
Ответ:
\frac{1}{6}*\arctan(\frac{t}{2})-\frac{1}{3}\arctan(t)+C
