Продолжаем рассматривать приемы решения тригонометрических уравнений. При решении некоторых тригонометрических уравнений используют формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение: $$\cos x*\cos 2x = \cos 3x$$
Решение: применим формулу произведения косинусов $$\cos x*\cos 2x = \cos 3x => \frac{\cos 3x+\cos x}{2}=\cos 3x =>\cos x - \cos 3x =0 =>$$применим формулу разности косинусов $$\sin 2x*\sin x =0 =>$$перейдем к совокупности уравнений $$\left[ \begin{gathered} \sin 2x = 0\\ \sin x = 0\end{gathered}\right. =>\left[ \begin{gathered}2x = \pi n \\ x = \pi n \end{gathered} \right. =>\left[ \begin{gathered}x = \frac{\pi}{2} n, n \in \mathbb Z \\ x = \pi n, n \in \mathbb Z\end{gathered}\right. $$Очевидно, что первое решение в совокупности уравнений содержит в себе второе.
Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} n, n \in \mathbb Z \)
Примет 2. Решить уравнение $$\sin x\sin 2x\sin 3x =\frac{1}{4}\sin 4x$$
Решение: применим к правой части формулу синуса двойного угла $$\sin x\sin 2x\sin 3x =\frac{1}{2}\sin 2x\cos 2x =>2\sin x\sin 2x\sin 3x -\sin 2x\cos 2x = 0 => $$$$\sin 2x(2\sin x\sin 3x -\cos 2x) = 0$$применим формулу произведения синусов двух углов $$\sin 2x*(\cos 2x - \cos 4x- \cos 2x) = 0 =>\sin 2x \cos 4x = 0$$$$\left[ \begin{gathered} \sin 2x = 0\\ \cos 4x = 0\end{gathered} \right.=>\left[ \begin{gathered} 2x = \pi n\\ 4x = \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z \end{gathered} \right.=>\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{2}n\\ x = \frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}, n \in \mathbb Z\end{gathered} \right.$$
Примет 3. Решить уравнение $$4\cos^3x-3\cos x =a$$
Решение: Выразим \(\cos^2x\) через косинус двойного угла $$4\cos^3x-3\cos x =a =>2(2\cos^2x)\cos x-3\cos x =a => 2(1+\cos 2x)\cos x-3\cos x =a$$$$2\cos x+2\cos 2x\cos x-3\cos x =a =>2\cos x+\cos 3x + \cos x - 3\cos x =a =>\cos 3x = a$$зная область значений функции косинуса, получим $$\begin{cases} |a| \leq 1\\ \cos 3x = a \end{cases} =>\begin{cases} |a| \leq 1\\ x = \pm \frac{1}{3}\arccos{a}+\frac{2}{3}\pi n, n \in \mathbb Z \end{cases} $$
Рассмотрим прием преобразования тригонометрического уравнения к простому виду путем введения вспомогательного угла.
Пример 4. Решить уравнение $$\sqrt{3}\cos x + \sin x = 1$$
Решение: разделим обе части уравнения на 2 $$\sqrt{3}\cos x + \sin x = 1 =>\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2}$$это было сделано с целью получения известного вспомогательного угла \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{6}\), \( \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}\), введем вспомогательный угол $$\cos \frac{\pi}{6}\cos x +\sin \frac{\pi}{6}\sin x = \frac{1}{2}$$применим формулу косинус разности двух углов $$\cos (x-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2} => x-\frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\ =>$$$$\left[ \begin{gathered}x-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \\ x-\frac{\pi}{6} = - \frac{\pi}{3} + 2\pi n \end{gathered} \right. => \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb Z \\ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb Z \end{gathered} \right.$$
Данное уравнение можно решить еще одним способом - составлением следующей системы уравнений $$\begin{cases} \sqrt{3}\cos x + \sin x = 1 \\ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \end{cases}=> \begin{cases} \cos x = \frac{1- \sin x}{\sqrt{3}} \\ (\frac{1- \sin x}{\sqrt{3}})^2 + \sin^2 x = 1 \end{cases}$$$$\begin{cases} \cos x = \frac{1- \sin x}{\sqrt{3}} \\ (1- \sin x)^2 + 3\sin^2 x = 3 \end{cases}=>\begin{cases} \cos x = \frac{1- \sin x}{\sqrt{3}} \\ 1- 2\sin x +\sin^2 x + 3\sin^2 x - 3 = 0 \end{cases}=>$$$$\begin{cases} \cos x = \frac{1- \sin x}{\sqrt{3}} \\ 4\sin^2 x -2\sin x - 2 = 0 \end{cases}=>\begin{cases} \cos x = \frac{1- \sin x}{\sqrt{3}} \\ \sin x =1 \\ \sin x = - \frac{1}{2} \end{cases}=>$$$$\begin{cases} x = \frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in \mathbb Z \\ x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6})+\pi n \end{cases} => \begin{cases} x = \frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in \mathbb Z \\ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6}+\pi n \end{cases}$$
