Метод решения задачи вида "Пользуясь определением пределов последовательности , докажите равенство".

Рассмотрим метод решения на следующем примере $$\lim_{n \to \infty}\frac{3n^2}{2n^2+3}=\frac{3}{2}$$ Вспомним определение предела последовательности.

Последовательность ${x_n}$ называется сходящейся, если существует такое число $a$, что последовательность ${x_n-a}$ является бесконечно малой, т.е. $\forall \varepsilon >0 \quad \exists N=N(\varepsilon)$ такое, что при всех $n>N$ элементы $x_n$, этой последовательности удовлетворяет неравенству $|x_n-a| < \varepsilon$. При этом число $a$ называется пределом последовательности $x_n$, что символически записывается так: $$\lim_{n \to \infty}x_n=a$$ Хочу обратить внимание на основные моменты из определения, которые понадобятся при доказательстве.

1. Если мы говорим $\forall \varepsilon >0$, то это означает, что какое бы сколь угодно малое $\varepsilon >0$.


2. Если мы говорим $\exists N=N(\varepsilon)$, то это означает, что чем меньше $\varepsilon$, тем больше будет $N(\varepsilon)$.

Вот мы и получили зависимость между $\varepsilon$ и $N$. Суть доказательства сводится к нахождению этой зависимости, т.е. если мы найдем $N(\varepsilon)$, для которого выполняется неравенство $|x_n-a| < \varepsilon$, то это и будет доказательством того, что последовательность имеет предел равный $a$.

Приступим к доказательству. Запишем неравенство, согласно определения $|x_n-a| < \varepsilon$ $$|\frac{3n^2}{2n^2+3}-\frac{3}{2}|< \varepsilon => |\frac{6n^2-6n^2-9}{2(2n^2+3)}|< \varepsilon$$ $$|\frac{-9}{2(2n^2+3)}|< \varepsilon =>\frac{9}{2(2n^2+3)}< \varepsilon$$ $$\frac{9}{2 \varepsilon} < 2n^2+3 =>\sqrt{\frac{9}{4 \varepsilon}-\frac{3}{2}} < n$$ Обозначим за $N=N(\varepsilon)=\sqrt{\frac{9}{4 \varepsilon}-\frac{3}{2}}$, т.е. мы нашли $N=N(\varepsilon)$такое, что  для любого сколь угодно малого $\varepsilon >0$ при всех $n>N$ элементы $x_n$ этой последовательности удовлетворяет неравенству $|x_n-a| < \varepsilon$.

Равенство доказано.