Порядок исследования функции и построения ее графика.

Рассмотрим порядок исследования функции и построения ее графика на примере функции \(y=\frac{x-4}{(x-3)·(x-2)}\)

1. Найдем область определения функции.
   Областью определения функции \(f(x)\) называют множество всех значений x , для которых функция (\(f(x)\)) имеет смысл. В нашем примере функция - дробь, для дроби областью определения будут все значение х кроме тех при которых знаменатель равен 0. Найдем все х при которых знаменатель равен 0. \((x-3)(x-2)=0 =>\) \(x \ne 2\), \(x \ne 3\), т.е область определения \(x \in (-\infty; 2) \cup (2;3) \cup (3;+\infty)\)
   Сделаем первые построения - нанесем на декартовую систему координат область определения. В точках \(x = 2\), \(x = 3\) построим прямые \(x = 2\), \(x = 3\) - прямые параллельные оси \(y\). Эти прямые называются асимптотами, анализ поведения функции возле асимптот будет дальше.


2. Проверим на четность функцию.
   Функция  \(f\) называется чётной, если справедливо равенство \(f(x)=f(-x)\)
   Функция  \(f\) называется нечётной, если справедливо равенство \(f(x)=-f(x)\)
   Проверяем на четность т.е. вместо \(x\) подставляем в уравнение функции \(-x\), получим: \(\frac{-x-4}{(-x-3)·(-x-2)}=-\frac{x+4}{(x+3)·(x+2)} \ne \frac{x-4}{(x-3)·(x-2)}\), после подстановки вынесли "-" за скобки и подучили выражение, которое не равно исходной функции, т.е. данная функция не является ни четной ни нечетной, а это означает, что у нее нет симметрии ни относительно оси \(x\) ни относительно точки O(0;0).


3. Находим характерные точки графика.




1. Точки пересечения с осью \(x\), т.е. значения \(x\) при \(y=0\)
   $$\frac{x-4}{(x-3)·(x-2)}=0 => x=4; y=0$$


2. Точки пересечения с осью \(y\), т.е. значения \(y\) при \(x=0\)
   $$y=\frac{x-4}{(x-3)·(x-2)} => y=\frac{0-4}{(0-3)·(0-2)}=-\frac{2}{3} =>x=0; y=-\frac{2}{3}$$


3. Найдем стационарные точки (или критические точки) - точки, в которых все частные производные обращаются в нуль. Найдем производную от функции и приравняем ее к 0.$$(\frac{x-4}{(x-3)(x-2)})`=0 =>( \frac{x-4}{x^2-5x+6})`=0 =>$$$$\frac{(x-4)`(x^2-5x+6)-(x^2-5x+6)`*(x-4)}{(x^2-5x+6)^2}=0 => \frac{x^2-5x+6-(2x-5)(x-4)}{(x^2-5x+6)^2}=0 =>$$$$\frac{x^2-5x+6-(2x^2-13x+20)}{(x^2-5x+6)^2}=0 =>x^2-5x+6-2x^2+13x-20 =0 => $$$$ -x^2+8x-14 = 0 =>x^2-8x+14 = 0 =>$$$$x_{1,2}=\frac{8 \pm \sqrt{64-56}}{2}=\frac{8 \pm \sqrt{8}}{2} = 4 \pm \sqrt{2}=>$$$$x= 4 + \sqrt{2} \approx 5,41; y \approx 0.17$$$$x= 4 - \sqrt{2} \approx 2,59; y \approx 5,83$$Нанесем полученные результаты на декартовую систему координат
   
   Стационарные точки (экстремумы и точки перегиба) попали в интервалы \(II - (2;3)\) и \(III - (3;+\infty)\). Определим, являются эти точки экстремумами (максимум, минимум) или точками перегиба.
   Достаточным условием существования экстремумов (максимум, минимум) является изменение знака первой производной при переходе через точку экстремума.
   Точка максимума знак меняется с "+"  на "-" (функция монотонно возрастает до точки экстремума, а после нее монотонно убывает).
   Точка минимум знак меняется с"-" на "+" (функция монотонно убывает до точки экстремума, а после нее монотонно возрастает).
   Таким образом необходимо в окрестности стационарной точки в соответствующем интервале взять две точки (справа и слева от стационарной точки), подставить в производную и определить ее знак.
   Рассмотрим полученные нами точки




1. \(x= 4 - \sqrt{2} \approx 2,59; y \approx 5,83\), попадает в интервал \(II\), поэтому возьмем точки , например \(x=2.1, x=2,9\). Так как знаменатель производной всегда больше 0, то рассмотрим числитель \(-x^2+8x-14 \approx -(x-2,59)(x-5,41)\),
   подставим \(x=2,1 \quad -(2,1-2,59)(2,1-5,41) < 0\), т.е. "-"
   подставим \(x=2,9 \quad -(2,9-2,59)(2,9-5,41) > 0\), т.е. "+"
   Вывод: знак меняется с"-" на "+" - точка минимума


2. \(x= 4 + \sqrt{2} \approx 5,41; y \approx 0.17\), попадает в интервал \(III\), поэтому возьмем точки , например \(x=5, x=6\). Так как знаменатель производной всегда больше 0, то рассмотрим числитель \(-x^2+8x-14 \approx -(x-2,59)(x-5,41)\),
   подставим \(x=5 \quad -(5-2,59)(5-5,41) > 0\), т.е. "+"
   подставим \(x=6 \quad -(6-2,59)(6-5,41) < 0\), т.е. "-"
   Вывод: знак меняется с"+" на " - " - точка максимума




4. Исследуем функцию на монотонность
   Достаточным условием возрастания  (убывания ) функции является \(f`(x_0) > 0\) (\(f`(x_0) < 0\)). Таким образом, для того, чтобы сделать вывод о монотонности функции достаточно подставить \(x\) из области определения. Для интервалов \(II,III\) монотонность была уже установлена при анализе стационарных точек, рассмотрим монотонность на интервале \(I\). Т.к. на этом интервале нет стационарных точек, то монотонность меняться не будет. Подставим значение любой точки \(x\) интервала в производную и определим ее знак. \(x=0, \quad => -(x-2,59)(x-5,41) = -(0-2,59)(0-5,41) < 0 \)


5. Исследуем поведение функции при \( x \to +\infty \), \( x \to -\infty \), а также поведение функции в районе асимптот.


6. 
   
   1. Исследуем поведение функции при \(x \to -\infty\)
      $$\lim_{x \to -\infty}y=\lim_{x \to -\infty}\frac{x-4}{(x-3)·(x-2)}=\lim_{x \to -\infty}\frac{x-4}{x^2-5x+6} =>$$$$\lim_{x \to -\infty}\frac{1-\frac{4}{x}}{x-5+\frac{6}{x}}=\frac{1-\frac{4}{-\infty}}{-\infty-5+\frac{6}{-\infty}}=\frac{1+0}{-\infty-5-0}=-0$$т.о. график функции асимптотически приближается к 0 снизу при \(x \to -\infty\), этот же результат мы получили при анализе точек пересечения с осью \(x\) и \(y\). На данном интервале пересечений с осью \(x\) нет, а с \(y=-\frac{2}{3}\) - отрицательное.
   
   
   2. Исследуем поведение функции при \(x \to +\infty\)
      $$\lim_{x \to +\infty}y=\lim_{x \to +\infty}\frac{x-4}{(x-3)·(x-2)}=\lim_{x \to +\infty}\frac{x-4}{x^2-5x+6} =>$$$$\lim_{x \to +\infty}\frac{1-\frac{4}{x}}{x-5+\frac{6}{x}}=\frac{1-\frac{4}{+\infty}}{+\infty-5+\frac{6}{+\infty}}=\frac{1-0}{+\infty-5+0}=+0$$т.о. график функции асимптотически приближается к 0 сверху при \(x \to +\infty\), этот же результат мы получили при анализе точек пересечения с осью \(x\) и \(y\). На данном интервале функция монотонно возрастает до точки максимума \(x= 4 + \sqrt{2} \approx 5,41; y \approx 0.17\), пересекает ось \(x=4\), далее монотонно убывает, при этом второй точки пересечения с осью \(x\) нет.
   
   
   3. Исследуем поведение функции при \(x \to 2-0\)
      $$\lim_{x \to 2-0}y=\lim_{x \to 2-0}\frac{x-4}{(x-3)·(x-2)}=\lim_{x \to 2-0}\frac{2-0-4}{(2-0-3)·(2-0-2)} =>$$$$\frac{-2-0}{(-1-0)·(-0)}=\frac{-2}{(-1)·(-0)}=-\infty$$
   
   
   4. Исследуем поведение функции при \(x \to 2+0\)
      $$\lim_{x \to 2+0}y=\lim_{x \to 2+0}\frac{x-4}{(x-3)·(x-2)}=\lim_{x \to 2+0}\frac{2+0-4}{(2+0-3)·(2+0-2)} =>$$$$\frac{-2+0}{(-1+0)·(+0)}=\frac{-2}{(-1)·(+0)}=+\infty$$
   
   
   5. Исследуем поведение функции при \(x \to 3-0\)
      $$\lim_{x \to 3-0}y=\lim_{x \to 3-0}\frac{x-4}{(x-3)·(x-2)}=\lim_{x \to 3-0}\frac{3-0-4}{(3-0-3)·(3-0-2)} =>$$$$\frac{-1-0}{(-0)·(1-0)}=\frac{-1}{(-0)·1}=+\infty$$
   
   
   6. Исследуем поведение функции при \(x \to 3+0\)
      $$\lim_{x \to 3+0}y=\lim_{x \to 3+0}\frac{x-4}{(x-3)·(x-2)}=\lim_{x \to 3+0}\frac{3+0-4}{(3+0-3)·(3+0-2)} =>$$$$\frac{-1+0}{(+0)·(1+0)}=\frac{-1}{(+0)·1}=-\infty$$
   
   


7. Построение графика функции.
   
   
   1. интервал \(-\infty; 2\). При \(x \to -\infty\) график функции асимптотически приближается к оси \(x\). При увеличении \(x\) до \(x \to 2\) график функции монотонно убывает, в точке \(x=0\) пересекает ось \(y\) в точке
      Получили следующие результаты
      на \(I\) - функция монотонно убывает, точек пересечения с осью \(x\) нет, а с осью \(y=-\frac{2}{3}\), далее при \(x \to 2\) график функции асимптотически приближается слева к вертикальной асимптоте \(y=2\), т.е. функция \(y \to -\infty\).
   
   
   2. интервал \(2; 3\). При \(x \to 2+0\) справа график функции асимптотически приближается к прямой \(x=2, y \to +\infty\). При увеличении \(x=2 \to x=3\) график функции монотонно убывает до точки минимума \(x= 4 - \sqrt{2} \approx 2,59; y \approx 5,83\), далее монотонно возрастает и при \(x \to 3\) асимптотически приближается к примой \(x = 3\) \(y \to +\infty\).
   
   
   3. интервал \(3; +\infty\). При \(x \to 3+0\) справа график функции асимптотически приближается к прямой \(x=3, y \to -\infty\). При увеличении \(x=3 \to +\infty\) график функции монотонно возрастает до точки максимума \(x= 4 + \sqrt{2} \approx 5,41; y \approx 0.17\), при этом пересекает ось \(x\) в точке \(x=4\), далее монотонно убывает и при \(x \to +\infty\) асимптотически приближается к оси \(x\) сверху \(y \to +\infty\).
   
   

Строим график функции