Завдання: Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки довжиною 13 см і 23 см. Обчисліть у \((см^2)\) площу трапеції.
Рішення: Площадь трапеции рассчитывается по формуле $$S = \frac{a+b}{2}h = mh \quad (1)$$ где \(a,b\) - основания трапеции,
\(h\) - высота трапеции.
В тоже время \(m = \frac{a+b}{2} = 36\) - средняя линия трапеции.
Т.о. для того, чтобы найти площадь трапеции нужно найти высоту трапеции \(h = AO\).
Рассмотрим рисунок.
Для решения задачи нужно найти высоту AO. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔADO. В этом треугольнике AO - катет, который можно найти по формуле Пифагора \(a^2+b^2=c^2\), осталось найти второй катет DO и гипотенузу AD.
Средняя линия трапеции также является средней линией треугольника ΔABC.
Свойства средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Согласно свойства средней линии треугольника AB = 2*13=26
Средняя линия трапеции также является средней линией треугольника ΔACD.
Согласно свойства средней линии треугольника DC = 2*23=46
Получили длины оснований трапеции \(AB = 26\), \(DC = 46\)
Согласно условия задачи: диагональ трапеции является биссектрисой острого угла, т.е. \(\angle BCA = \angle ACD\) , в тоже время \(\angle ACD = \angle BAC\) эти углы равны т.к. являются внутренними накрест лежащими углами, т.о. \(\angle BCA = \angle ACD = \angle BAC\). Отсюда следует, что ΔABC - равнобедренный, а стороны \(AB=BC=26\). Получили, что баковые стороны равнобедренной трапеции \(AD=BC=26\)
Найдем катет \(DO = \frac{DC-AB}{2} = \frac{46-26}{2}=10\)
Из треугольника ΔADO находим по теореме Пифагора \(DO=h=\sqrt{AD^2-LJ^2} = \sqrt{26^2-10^2} = 24\)
Найдем площадь равнобедренной трапеции по формуле (1) $$S = m*h = 36*24 = 864$$
Відповідь: площадь трапеции равна \(864 см^2\).
попереднє завдання № 30 наступне завдання № 32
