ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 23.

Завдання: На рисунку зображено квадрат $ABCD$ зі стороною 1 см та прямокутний трикутник $CDF$, гіпотенуза якого $CF$ дорівнює $\sqrt{5}см$. Фігури лежать в одній площині. Установіть відповідальність між початком речення (1-4) та його закінченням (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
 

Варіант відповіді:
$$\begin{array}{|l|c|l|} \hline  \quad\quad \large \textbf{Початок речення} & & \large\textbf{Закінчення речення}  \\ \hline 1.\quad \text{Довжина катета FD трикутника CDF дорівнює } &  &А.\quad \text{1 см} \\ \hline 2.\quad  \text{Довжина радіуса кола, описаного навколо квадрата ABCD, дорівнює} &   &Б.\quad  \frac{1}{\sqrt{2}} см   \\ \hline 3.\quad \text{Відстань від точки F до прямої BC дорівнює} &   & В.\quad \sqrt{2} см \\ \hline 4.\quad \text{Відстань від точки F до прямої BD дорівнює} &   &Г. \quad \text{2 см} \\ \hline &   &Д. \quad  \sqrt{5} см  \\ \hline \end{array}$$

Рішення:  
1.  Длинна катета FD треугольника CDF равна:
Рассмотрим $ΔCDF$: известны длина катета $CD = 1$ и гипотенузы $CF = \sqrt{5}$, тогда по теореме Пифагора найдем $$CF^6 = CD^2+DF^2 => 5 = 1 + DF^2 => DF=2$$
Ответ:  Довжина катета FD трикутника CDF дорівнює 2см, $(1 \to Г)$

2.  Длина радиуса круга, описанного вокруг квадрата:
Если квадрат вписан в круг, то его диагональ является диаметром этого круга. Найдем диагональ из треугольника $ΔABD$ по теореме Пифагора, согласно условия задачи $AB=AD=1$, получаем $$AB^2+AD^2 = BD^2 => BD^2 = 1+1 => BD=\sqrt{2} =>d=2r=BD=\sqrt{2} => r = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Ответ:  Довжина радіуса кола, описаного навколо квадрата ABCD, дорівнює  $\frac{1}{\sqrt{2}}см$, $(2 \to Б)$

3.  Расстояние от точки F до прямой BC равно :
Расстояние от точки до прямой равно перпендикуляру, опущенному из этой точки на прямую $FE$. Точка F лежит на прямой AF, которая параллельна BC $AF||BC$. Все перпендикуляры, опущенные из точек прямой AF на прямую BC равны $AB=DC=FE=1$, т.е. и перпендикуляр из точки F (FE) на прямую BC равен 1 см.

Ответ:  Відстань від точки F до прямої BC дорівнює  1 см, $(3 \to А)$

4.  Расстояние от точки F до прямой BD равно :
Опустим перпендикуляр на прямую BD из точки F. Найдем расстояние FS. Из рисунка видно, что углы $\angle BDA = \angle FDS$. Из прямоугольного равнобедренного треугольника $ΔABD$ следует, что $\angle BDA = 45^0 => \angle FDS = 45^0$. Получили, что прямоугольный треугольник $ΔFDS$ - равнобедренный, т.е. $DS=SF = a$. Применим теорему Пифагора к этому треугольнике $DS^2 + SF^2 = DF^2 => a^2+a^2 = 2a^2 = 4 => a=\sqrt{2}$

Ответ:  Відстань від точки F до прямої BD дорівнює  $\sqrt{2}$ см, $(4 \to В)$

  попереднє завдання № 22     наступне завдання № 24